非对称线性方程组多分裂预处理算法及应用

本项目主要研究系数矩阵为非对称的线性方程组并行多分裂迭代算法、预处理技术以及对偏微分方程数值解方面的应用. 拟主要完成以下工作：(1)以对称正定矩阵的P-正则分裂和非对称正定矩阵的PSS分裂为基础, 研究非对称矩阵的多分裂的收敛性. 同时, 选择适当的范数以度量迭代误差向量，通过极小化第k步迭代误差来选择第k步的最优（或次优）加权矩阵, 从而形成较优的多阶段并行多分裂迭代算法.（2）采用加权多分裂矩阵作为预处理子, 选择适当的范数来度量矩阵误差, 通过极小化预处理子与预处理矩阵的误差, 确定最优（或次优）的加权矩阵, 以形成较优的预处理子.（3）将较优的多阶段并行多分裂迭代算法及较优的预处理GMRES方法应用于求解对流扩散方程及Oseen方程等微分方程数值解.. 该项目的完成旨在丰富线性方程组并行计算的迭代算法和收敛理论, 研究结果可直接应用于实用优化及微分方程数值解等相关学科.

本项目主要完成了以下工作：(1)利用P-正则分裂, 构造了非Hermitian正定矩阵两种收敛分裂, 并将收敛分裂通过矩阵范数推广到多分裂. (2)运用l_2或l_1范数度量迭代误差, 并通过极小化迭代误差将传统的多分裂并行算法进行了系统改进, 从权矩阵和收敛分裂两个方面较大程度地进行了弱化, 改善了多分裂并行算法的收敛性能. 数值实验表明新的多分裂并行算法在迭代次数和CPU时间两个方面更有效. (3)将构造非Hermitian正定矩阵的收敛分裂与多分裂作为预处理子, 分析了预处理后的条件数, 并应用于Convection-Diffusion方程及electromagnetic等微分方程离散化的代数方程组上. (4)运用极小化误差的优化手段, 对一般传统迭代算法以及非Hermitian正定矩阵的收敛分裂如HSS分裂算法进行了加速, 从收敛条件和计算性能两方面都优于Chebyshev 加速算法.