生物模型和时空共振系统的重整化群方法

The renormalization group (RG) method is an effective tool to deal with the singular perturbation problem of differential equations. The long-time approximate solution of the system is obtained by constructing the RG equation to eliminate the secular term generated by the time resonance.In this project, we will focus on the topic of "renormalization group method of differential equations".Firstly, the second-order renormalization group approximate solutions of several nonlinear biological models are constructed, and the extended singular perturbation theory is applied to study the long time behavior of the approximate solutions, and the numerical simulation is carried out.Secondly, the renormalization group method of the time-space resonance system was developed to overcome the difficulty of zero measurement set of the time-space resonance set, and the approximate solution of the quadratic nonlinear Schrodinger equation in the three-dimensional and two-dimensional space was constructed, and the error between the approximate solution and the real solution was compared in the appropriate energy space.

重整化群方法是处理微分方程奇异摄动问题的有效工具。该方法通过构造重整化群方程消去时间共振产生的长期项，得到系统的长时间近似解。在本项目中，我们将围绕“微分方程的重整化群方法”这一主题展开研究。首先，构建几类非线性生物模型的二阶重整化群近似解，应用推广的吉洪诺夫奇异摄动理论研究近似解的长时间行为，并进行数值模拟。其次，发展时空共振系统的重整化群方法，克服时空共振集为零测集的困难，构建三维和二维空间中二次非线性Schrödinger方程的重整化群近似解，并在适当的能量空间比较近似解与真实解的误差。

重整化群起源于理论物理学中的量子场论，是研究系统在不同的能量尺度下演化的数学方法，在固体物理学、流体力学、宇宙学以及纳米技术等领域都有重要应用。重整化群方法是处理微分方程奇异摄动问题的有效工具。本项目围绕“微分方程的重整化群方法”这一主题展开研究，探讨了带有拟共振控制的薛定谔方程和非线性生物模型的重整化群方法，取得了一些有意义的结果。1. 项目负责人通过发展高阶重整化群方法，得到了带有拟共振控制的薛定谔方程的高阶近似解。2. 项目负责人研究了带有时空共振薛定谔方程的重整化群方法，分析二次非线性Schrödinger方程的重整化群方法，得到带有时空共振薛定谔方程的重整化群近似解。3. 项目负责人研究了带有媒体报道影响的传染病模型，分别考虑了媒体报道函数为指数形式和Holling II型的传染病模型，对模型进行尺度化变换，得到模型的重整化群近似解。4. 项目负责人研究了带有脉冲预防接种策略的受季节周期驱动的传染病模型，证明了在脉冲作用下受季节驱动的SEIR周期解的存在性。5. 项目负责人研究了一类带有周期封锁政策的随机传染病模型的临界点问题，讨论了不同周期的封锁政策在有限时间区间内对疾病消除的影响，应用随机模拟算法比较了不同周期的封锁政策的有效性。在本项目的资助下，项目组发表SCI论文2篇，在投SCI论文3篇。