动力系统中刚性及敏感性相关问题研究

In the study of dynamical systems on stability and chaos theories, the two notions of rigidity and sensitivity play the most basic and important role. This project mainly concerns some hot issues related on rigidity and sensitivity properties. On the one hand, we emphatically study three open problems that whether finite rigid systems have different levels, 2-rigid systems are of zero entropy and the Sarnak's disjointness conjecture on Möbius functions holds for topologically rigid systems or not. On the other hand, we are interested in some properties of sensitivity in mean sense, such as the connections among which and other stronger forms of sensitivity, the sufficient conditions of which happens, the dichotomy property between which and its opposite side, the dynamical behaviors of which in induced spaces and so on. We expect in this project to achieve some breakthroughs on these questions. It would be then helpful to deeper understand the complex structure of systems and promote the further development of this field.

在动力系统稳定性与混沌理论研究中，刚性与敏感性是其中最基本且重要的两个概念。本项目主要关注与刚性及敏感性相关的一些热门课题。一方面，我们着重研究有限刚性系统是否有严格层次结构、2-刚性系统是否为零熵以及Sarnak关于Möbius函数的正交性猜测对拓扑刚性系统是否成立这三个公开问题。另一方面，我们感兴趣于敏感性在平均意义下的一些性质，诸如与其他强形式敏感概念之间的联系、发生的充分条件、与其对立面的二分属性、在诱导空间中的动力学表现等等。项目预期在这些问题上能取得一定的突破性进展，从而使人们更加深刻地理解系统的复杂结构，推进该领域的进一步发展。

本项目主要研究动力系统的敏感性和刚性以及其相关问题。. 在敏感性及其相关问题方面，主要探讨了平均以及函数形式的敏感性质和其相应的对立面性质，在这个过程中，平均的思想和局部化理论被用于深刻和细致地揭示满足特定敏感性质的动力系统具有怎样的复杂动力学结构。特别地，我们给出了一系列动力系统为平均敏感的充分或必要刻画，证明任何唯一遍历强混合正熵动力系统都是平均敏感的，并且存在底空间为平均等度连续但超空间为正熵平均敏感的动力系统；证明动力系统为弱混合的当且仅当相对于至少两个非常值连续函数是一致敏感的；证明任何一个动力系统均可嵌入到一个几乎平均等度连续动力系统中，作为推论我们指出平均等度连续系统结构虽简单，但其局部化可以具有很复杂的混沌动力学行为。. 在刚性与熵相关问题研究中，我们发现首先需要深入地挖掘正熵能蕴含怎样的双向渐近性质。我们主要讨论熵与渐近对，稳定集，混合集等之间的关系以及它们在Amenable群作用下的表现。特别地，我们证明有限符号转移系统如果有正拓扑熵，则具有沿着某个Banach密度为1的子集双向渐近的点对；作为推论如果有限符号转移系统为沿着某个正上Banach密度集双向2刚的，则它一定具有零拓扑熵。在刚性与Sarnak猜测方面，我们证明一致刚性动力系统与Mobius函数正交。在研究这些问题的过程中，我们引入了新的概念和性质，产生了新的思想和方法，对了解动力系统的复杂结构有重要的理论意义。