β-动力系统及相关问题研究

The β-expansions of real numbers introduced by the famous mathematician Rényi is a generalization of the intger base expansions, of which the corresponding β-dynamical systems are typical examples of expanding systems. The introduction of non-integer bases makes digits in the β-expansions not independent any more, and β-dynamical systems lose the Markov property. But, at the same time, it brings many surprising phenomena, enriching the representation theory of real numbers. Therefore, the research of β-expansions and β-dynamical systems has been always one of the important topics in number theory, combinatorics and dynamical system.. Combining with the thoughts, methods and tools in fractal geometry, this project intends to carry out a study on the following three aspects: 1. study the exact Diophantine approximation in β-dynamical systems, and estmate the approximating efficiencies of the orbits of points. 2. investigate the difference of the distributions of the orbits of a given point in different β-dynamical systems, and study the metric properties of the set of β's satisfying some conditions. 3. study the asymptotic behaviors of the maximal length of consecutive terms of the same digit (or word), and the dependence of them with β. This project aims at improving the theory of Diophantine approximation in β-dynamical systems, developing the theory of distributions of digits in the β-expansions of real numbers, and making the new ideals and methods arising contribute to the study of the theory of fractal geometry.

实数的β-展式是整数进制展式的推广，由知名数学家Rényi引入，其对应的β-动力系统是一类典型的扩张系统。非整数基的引入，使得β-展式中数字之间不再独立，β-动力系统失去了Markov性，但同时也带来了许多新奇的现象，丰富了实数的表示理论。因而，关于β-展式及β-动力系统的研究一直是数论、组合论以及动力系统研究的重要课题之一。. 本项目拟结合分形几何中的思想、方法和工具，展开对下述三个方面的研究：1、研究β-动力系统中的精确丢番图逼近问题，估计点的轨道的精确逼近效率；2、探索定点在不同的β-动力系统中的轨道的分布差异，研究满足相应条件的β集合的度量性质；3、研究β-展式中相同数字（或者词）连续出现的长度的渐近行为，及其与β的依赖关系。本项目旨在完善β-动力系统中的丢番图逼近理论，发展实数的β-展式中的数字分布理论，并将研究过程中产生的新的观点和方法反馈到分形理论的研究中来。

实数的β-展式是整数进制展式的推广，由知名数学家Rényi引入，其对应的β-动力系统是一类典型的扩张系统，并且几乎都是非Markov的。随着动力系统与数论、分形几何等学科的关系越来越密切，关于动力系统中的丢番图逼近问题的研究渐趋活跃，这其中包含大量与β-动力系统有关的工作。. 定点在不同β-动力系统中的轨道的丢番图性质是β-动力系统中的丢番图逼近问题研究的非常重要的一个方面。在本项目中，我们主要研究了使得定点的轨道满足给定丢番图性质的β集合的测度性质。在此之前，关于这类集合的Hausdorff维数，已有较为完善的结果，但有关这类集合的测度的结果却几乎是一片空白。现在，我们完全确定了相关β集合的Lebesgue测度，填补了上述空白。. 实数的β-展式决定了其在β-动力系统中的动力学行为。在本项目中，我们引入了一般实数的β-展式的run-length函数，并说明该函数与β-动力系统中的击中时刻之间存在着密切的关系。我们刻画清楚了相关集合的测度性质，计算得到了相关水平集的Hausdorff维数，这是对之前β-展式中数字分布问题的相关工作的完善与推广。. 由于实数的β-展式是一种特殊的非整数基展式，为了更加深刻、全面地理解β-展式的性质，我们还研究了下述两类集合的局部性质：一类是使得数字1的非整数基展式只有β-展式的那些β所构成的集合；另一类是其非整数基展式只有β-展式的那些实数所构成的集合。