动力系统中混沌及复杂性相关问题的研究

This project intends to study several highly visible problems on chaos and complexity in dynamical system in recent years. Specifically, this project includes the followings: (1) to study in depth the size of the class of weakly product recurrent points, discuss some unresolved problems on the relations among product recurrence, weakly product recurrence and uniform recurrence in different systems. (2) to give the sufficient conditions, necessary conditions, necessary and sufficient conditions that a weakly mixing or mixing system is uniform rigid. (3) to study relations between product recurrence, weakly product recurrence, uniform recurrence, uniform rigid and chaos. By the study of these problems, it is significant theoretically to reveal the essence and inner motion law of systems.

本项目拟研究动力系统中近年来备受关注的有关混沌和复杂性方面的相关问题，具体包括以下几方面：(1) 深入研究弱乘积回复点类的大小，讨论尚未解决的在不同系统中乘积回复、弱乘积回复和一致回复三者之间的关联；(2) 给出拓扑弱混合或混合系统是一致刚性的充分、必要或充要条件；(3) 研究乘积回复、弱乘积回复、一致回复、一致刚性与混沌之间的关联。这些问题的研究，対揭示系统的本质和内在规律性具有重要的理论意义。

研究与系统复杂性相关的问题是动力系统领域的热点问题。在描述系统复杂性的语言中，混沌是一个重要的概念，它是研究非线性的有力工具。传递属性和回复性都是非常重要的动力学性质，跟踪性、传递属性可以蕴含多种复杂的动力性状，敏感性是衡量系统复杂性的重要标准之一，它们在刻画动力系统复杂性方面都起着重要的作用。. 本项目的研究主要集中在两个方面：一是关于动力系统复杂性的研究；二是关于复杂系统的混沌性研究。在复杂性方面，重点讨论了具有回复性的乘积系统的复杂性，如回复性、跟踪性、混合性、遍历性和敏感性等。给出了两个乘积系统的跟踪性之间的关系，证明了具有跟踪性的乘积系统在一定条件下是链混合的、强遍历的；讨论了一类特殊的动力系统和非自治系统的敏感性、遍历性和传递性之间的关系，分别给出了这两个系统具有多种敏感性的充分条件，同时还给出了两个非自治系统的乘积系统是重F敏感以及(F1,F2)-敏感的充要条件。此外，对有限维Banach空间中线性系统的复杂性做了进一步讨论，给出了多种跟踪性和双曲性之间的关系，并将其拓展到无限维Banach空间中，讨论了在无限维Banach空间中不同的地方，得到了双曲性和跟踪性等价的条件等。这些成果拓展了近年来关于动力系统复杂性的研究工作。. 在混沌性的研究方面，展示了分布混沌可以有多“强”和多“大”。通过研究轨道的拓扑结构，在具有零拓扑熵的动力系统，通过构造的方法，证明存在稠密的，不变的，集值传递的由真拟弱几乎周期点组成的不可数分布混沌集；给出了两个非自治系统与它们的乘积系统之间多种混沌性之间的关系，如是Kato混沌、Martelli混沌以及Ruelle-Takens混沌的条件。这些研究成果都集中在近年来本方向所研究的热点问题。. 本项目的开展在丰富了动力系统理论的同时，対揭示系统的本质和内在规律性具有重要的理论意义，也为混沌理论在其他学科中的应用提供了理论基础。. .