基于移动坐标架的最小切环分支问题

Heteroclinic cycle and its bifurcations play an important role in many complex research fields such as physics, biology. Heterodimensional cycle behaves as a general type of heteroclinic cycles, which bifurcations reveal unstability of structure, diversity of topological types of orbits, and complexity of corresponding integration, translation and bifurcation in the evolution process of different orbits in higher dimensional systems with heterodimensional cycle. In present, bifurcations of heterodimensional cycles are attaching a lot of attention in many applications. Minimum tangency cycles exhibit generality in heterodimensional cycles. However, the asymmetrical distribution of the codimensions brings great difficulty in analysis on bifurcations of minimum tangency cycles, so there are not discussions enough in the existing results, especially in the higher degenerate cases. We plan to study some kinds of degenerate minimum tangency cycles with three saddles detailed and creatively by setting up a moving coordinate frame in a tublar neighborhood of the minimum tangency cycle in this research. Since such a coordinate frame itself not only inherits the geometric invariance of the corresponding manifolds, but also reflects accurately the dynamical properties including the intrinsic linear contraction and expansion of the systems, the successor functions and bifurcation equations induced by solutions of systems in the regular neighborhood of the minimum tangency cycle under this frame become extraordinarily simple and accurate.

异宿环及其分支问题在各种复杂的物理、生物等学科及相关研究领域都占有重要地位。异维环作为更一般的异宿环，其分支现象充分揭示了具有异维环的系统的结构不稳定性和其轨道拓扑类型的多样性，以及不同类型的轨道在演化过程中相互融合、转化、分叉的复杂性等等。目前异维环分支问题的研究是异宿环分支的一个热门问题。最小切环在异维环中具有一般性。然而由于最小切环本身的余维数分布的不均匀性给分支的讨论带来了很大的困难，故已有的研究结果不多，尤其对于那些退化程度较高的情况还没有得到系统的分析。本项目拟通过在最小切环的局部管状邻域内构造移动坐标架对高维微分系统中几类退化的三鞍点最小切环分支问题给出系统的、独创性的研究。这样的移动坐标架本身既继承了相应不变流形的几何不变性，又精确地反映了系统内在的线性压缩性和扩张性的动力学性态，由此得到的后继函数和分支方程的形式会变得相当简单而精确。

高维非线性微分系统中的异宿环及其分支问题在各种复杂的物理、生化、化学等作用的学科及相关的研究领域发挥着极其重要的作用。异维环分支问题的研究是异宿环分支的一个热门问题，然而由于其本身的余维数分布的不均匀性给分支的讨论带来了很大的困难，故已有的研究结果不多。.本项目针对异维环中一类具有一般性的最小切环的分支问题给出系统的分析和研究。首先从三维非线性微分系统入手，考虑连接三个鞍点的最小切环的分支问题，包括2-2-1环和2-1-1环两种类型，分别研究它们在单种退化条件下的分支情况。对于具有共振或轨道翻转条件的最小切环，通过考虑该环的三条异宿轨中从鞍点出发或进入鞍点时的切向丛的特征值及方向，选取适当的移动坐标架，在该环的管状邻域内建立了形式相对简单的回归映射，进而得到三鞍点最小切环的保存性、周期轨、同宿环、异宿环、多重周期轨分支曲面，以及鞍结点分支曲面的存在条件等一系列的分支结果，并给出各种参数条件下系统分支的详尽而完整的分支图。对于具有倾斜翻转条件的最小切环，考虑该环中连接同一条异宿轨L的鞍点A的稳定流形和鞍点B的不稳定流形方向在时间变量分别趋于正无穷大和负无穷大时的变化趋势，主要包括最小切环中稳定流形及不稳定流形沿异宿轨方向发生倾斜翻转的情形。这类退化有弱倾斜翻转和强倾斜翻转两种情形。通过进一步推广局部移动坐标架法，给出同宿环、周期轨和多重周期轨道的分支参数曲面等的渐近表达式。对比两种倾斜翻转条件下的最小切环分支结果，发现强倾斜翻转比弱倾斜翻转的情况退化性更强，分支类型更为丰富，系统的动力学行为也更为复杂。其次对具有两类退化条件的分支问题也进行了初步的探讨。最后对n维非线性微分系统中连接多个鞍点的最小切环进行了研究，给出各类分支参数曲面包括同宿轨分支的参数曲面、最小切环保存的参数曲面、周期轨分支的参数曲面、两重周期轨分支的参数曲面以及三重周期轨分支的参数曲面等，对比分析得出这些结果恰是三维情形的推广。.本项目所研究的问题在一定程度上完善了高余维奇异轨的分支结果。在分支分析的过程中，利用移动坐标架法来获取一个光滑坐标变换，以此导出系统在最小切环中的奇点附近的标准型，简化了庞加莱映射及分支方程，使得结果更容易求解，方法更具有推广性。