分段光滑微分系统的极限环分支问题

The problem of bifurcation of limit cycles is one of the main problems in the qualitative of differential equation, they draw attetion of many mathematicans, and has obtained some outstanding results. In recent years, there are large number of problems raised from mechanic, electronic engineering and automatical control are discribed in the form of piecewise smooth differential systems. Therefore, the study of this problem has important academic value, theoretical significance and application prospects.. This program consider the bifurcation of limit cycles for piecewise smooth differential systems. The contributions of this program are presented as follows: 1. Applying the first order averaging method of piecewise smooth differential system, we considering the number of limit cycles which bifurcating from periodic annulus surrouding the center for several piecewise smooth Hamiltonian and integrable non-Hamiltonian differential systems; 2. Considering the relation between the number of discontinuous regions and limit cycles for piecewise smooth differential systems; 3. Extending the first order averaged method for discontinuous differential systems to higher order averaged method.

极限环分支问题是微分方程定性理论的主要研究问题之一，引起了许多数学工作者的广泛关注，取得了一些优秀的研究成果。近年来，从力学，电气工程和自动控制的研究中出现了大量分段光滑微分系统。因此，这一问题的研究具有重要的学术价值，理论意义以及应用前景。.本项目考虑分段光滑微分系统的极限环分支问题。内容包括：1，利用分段光滑微分系统的一阶平均法，分别考虑平面逐段光滑Hamiltonian和可积non-Hamiltonian微分系统从中心的周期环域分支出极限环的个数问题；2，考虑分段光滑微分系统中不连续区域个数与极限环的关系；3，将分段光滑微分系统的一阶平均法推广到高阶情形。

近年来，随着对现实世界认识的日益深刻，学者们发现刻画现实物理现象的许多函数都是分段光滑的。例如，含有开关装置的电路在开关打开和开关闭合时一般对应不同的电路方程。此外，在电气工程，自动控制，工程力学，经济学，社会学等领域也出现了大量的分段光滑微分系统模型。. 分段光滑微分系统的极限环分支问题不仅具有广泛的应用前景,而且与希尔伯特第十六问题及其相关问题的研究联系紧密,从而可以看作是该问题在某种意义下的推广。大量研究结果表明：分段光滑微分系统有着比光滑微分系统更加复杂的动力学行为。. 本项目考虑分段光滑微分系统的极限环分支问题，研究内容主要包括三方面：. 1.分段光滑Hamiltonian微分系统的极限环分支问题。利用一阶Melnikov函数,我们研究了两类分段光滑Hamiltonian微分系统从中心的周期环域分支出极限环的最大个数问题。我们的研究结果推广和改进了现有的结论。. 2.分段光滑可积非Hamiltonian微分系统的极限环分支问题。首先，我们得到了类似分段光滑Hamiltonian微分系统的一阶Melnikov函数，从而为解决分段光滑可积非Hamiltonian微分系统的极限环分支问题提供了新的研究工具。其次，我们研究了几类分段光滑可积非Hamiltonian微分系统从中心的周期环域分支出极限环的最大个数问题。研究结果表明：分段光滑微分系统的极限环个数一般是其对应的光滑微分系统的两倍。. 3.多区域分段光滑Lienard微分系统的极限环分支问题。我们的研究结果表明：随着区域个数的增加，极限环的个数也会相应增加。该结论显然对一般分段光滑微分系统也是成立的。. 在该项目的资助下，项目组成员在国内外重要学术期刊上已经发表相关科研论文12篇，其中SCI检索8篇。