伴随奇点分支的异维环和双同宿环分支问题

The study of bifurcations of homoclinic and heteroclinic loops is turned to the high codimensional bifurcations in high dimensional systems recently. The bifurcations of the heterodimensional cycles and double homoclinic loops have attracked special attention these years. However, most of the studies considered the bifurcations of the heterodimensional cycles and double homoclinic loops with hyperbolic equilibria, the bifurcations of the heterodimensional cycles and double homoclinic loops with non-hyperbolic equilibria are less studied. It is well known that a non-hyperbolic equilibrium is unstable and the codimensions for the two orbits of a heterodimensional cycle are different, which make the study of the heterodimensional cycles with non-hyperbolic equilibria more difficult and challenge. We devote to consider the bifurcations of heterodimensional cycles and double homoclinic loops with non-hyperbolic euqilibria using the improved local active coordinates in this project. The problem about bifurcations of the heterodimensional cycles and double homoclinic loops with non-hyperbolic equilibria is new and the study of this project has tremendous potential for applications and significant theoretical value for deep researching of the heterodimensional cycles and homoclinic loops.

目前，同宿、异宿轨道分支问题理论研究的主流已转向高维系统的高余维分支问题，尤其异维环、双同宿分支问题成为近两年来动力系统分支领域的研究热点之一。但在已有文献中，大部分讨论的都是连接双曲奇点的异维环、双同宿分支问题，而对于连接非双曲奇点的异维环、双同宿分支问题很少研究。众所周知，非双曲奇点结构不稳定，研究轨道分支同时伴随奇点分支，加之异维环两条轨道的余维数不同，这些都使得连接非双曲奇点的异维环分支问题更具难度和挑战性。本项目将利用改进的活动坐标架法研究伴随奇点分支的异维环和双同宿环分支问题。伴随奇点分支的异维环、双同宿环分支问题是分支领域的全新课题, 它的研究将为异维环、双同宿环的进一步探讨提供重要的理论基础和应用价值。

同宿、异宿轨道是产生复杂动力学的源头之一，同时由于同宿异宿轨道对应于偏微分方程行波解系统的特殊行波解或有界解，因此同宿、异宿轨道的分支问题吸引了大批学者的研究。目前同宿、异宿轨道分支问题理论研究的主流已转向高维系统的高余维分支问题，尤其异维环、双同宿分支问题成为近两年来动力系统分支领域的研究热点之一。但在已有文献中，大部分讨论的都是连接双曲奇点的异维环、双同宿分支问题，而对于连接非双曲奇点的异维环、双同宿分支问题很少研究。非双曲奇点由于结构不稳定，研究轨道分支同时伴随奇点分支，使得连接非双曲奇点的异维环分支问题更具难度和挑战性。本项目利用改进的活动坐标架法研究了伴随奇点分支的异维环、双同宿环、退化异宿环和单同宿环等分支问题。得到了伴随奇点分支的异宿环、异维环、同宿环、双同宿环等分支出异宿环、同宿环、同宿环与周期轨共存，异维环与周期轨共存及分支出多条异宿轨的重要结果。本项目同时研究了极限环分支问题，混沌动力系统的动力学行为及同宿、异宿轨道的存在性，无穷远分析及几类差分方程的全局分支等，得到一系列有趣的结果。