弱型空间中的鞅以及遍历加权不等式

近年来, 鞅空间理论的发展呈现出两种比较明显的趋势: 其一, 在弱型空间中研究鞅, 弱型空间范围广, 性质差, 经典方法对于它们往往不再适用. 其二, 鞅论的量子化, 即非交换鞅论, 非交换理论向鞅论的渗透, 使得人们以新的视角研究鞅论, 并颠覆了以往鞅论中惯用的工具与技巧. 我们近期的工作将集中在弱型鞅空间以及双指标鞅空间的加权问题上, 并探讨非交换鞅论中的空间弱化甚至加权问题. 具体来讲, 研究鞅空间上的（条件）均方算子的加权不等式及其成立的充分必要条件; 研究双指标鞅空间中各种算子的加权不等式; 研究弱型鞅空间中权条件的具体形式; 研究拟鞅, 渐近鞅以及向量值鞅空间中的加权不等式; 研究双指标情形下以及重排不变空间中的非交换鞅; 研究非交换鞅论的加权问题. 由于鞅论与遍历理论的联系, 我们在鞅论中取得的成果, 在遍历理论中也将有借鉴意义.

函数空间的加权不等式起源于傅里叶分析, 之后由于它与众多研究对象紧密的联系而备受关注, 比如算子的外插理论, Lipschitz域上的Laplace方程的边值问题, 向量值函数不等式, 非线性偏微分方程及积分方程等. 一直以来, 调和分析中的一些问题, 以概率论的观点理解, 往往更透彻. 这一观点, 在加权不等式的研究中, 表现的尤为突出. 该项目主要讨论概率空间中的鞅加权不等式. 我们研究已知结果的双线性以及多线性版本. 自然地, 我们还预研了无穷线性的加权不等式. 在此期间, 我们引入逆向Holder不等式和多线性二进制版本的Carleson嵌入定理. 无论是在鞅空间, 还是在函数空间, 正是逆向Holder不等式的引入, 使得我们可以获得多线性版本的Sawyer结果. 从事该部分内容研究时, 我们充分意识到将熟知的问题衍生出相应的双线性或多线性版本, 有时会产生本质性的困难. 因此, 在此过程中, 我们可能会发掘更为本质的问题以及解决问题的方法. 事实证明, 在特定情况下, 鞅空间中的结果比函数空间中的结果更为本质, 从而对函数空间类似结果的获得具有启发意义.