重排不变空间中的非交换鞅论

This proposal is placed at the intersection between functional analysis and stochastic process. Since Pisier-Xu's fundamental work is published in 1997, the noncommutative martingale theory, as one branch of the noncommutative probability, has increasingly becoming one of the new international topics. In this proposal, we shall in the first time make a connection rearrangement invariant spaces with noncommutative martingales. In the frame of rearrangement invariant spaces, we shall study the noncommutative John-Nirenberg theorem, freely independent variable in rearrangement variant spaces, Khintchine inequality in noncommutative MBO spaces, the noncommutative stochastic integral and martingale inequalities and so on. The resulting conclusions will not only extend the scope of existing theory, but also develop the new methods and techniques. At the same time it plays an important role to complete the existing noncommutative martingale theory, and to promote the noncommutative harmonic analysis and quantum probability.

该项目是泛函分析与随机过程的交叉学科研究。 自1997年， Piser-Xu的奠基性工作发表以来，非交换概率的重要分支之一- - -非交换鞅论得到了迅速发展，正成为国际上新的关注热点；在该项目中首次将重排不变空间（范围广，性质差）与非交换鞅相结合，在重排不变空间的框架下研究非交换的John-Nirenberg定理、重排不变空间中的自由独立的随机变量、非交换BMO空间中的"Khintchine"-不等式、重排不变空间中的鞅不等式和非交换随机积分等；所得到的结论不仅能扩展现有理论的施用范围，而且还要发展新的方法和技巧，将鞅论的研究上升到一个新的台阶，同时对建立和完善非交换鞅论起着重要作用，当然也会引出非交换概率与非交换调和分析中的其它新问题。

本项目系统研究了重排不变空间的非交换Johnson-Schechtman不等式，具体包括Junge-Xu意义下的非交换独立随机变量，非交换鞅差序列以及自由独立随机变量的Phi矩不等式，特别得到了重排不变空间的非交换Burkholder-Gundy不等式的最sharp的结果；研究了非交换二进制鞅Hardy空间的对偶以及非交换Walsh-Fourier级数的弱(1,1)和强(p,p)型估计，部分回答了2012年JFA中的一个开问题；给出了非交换微分从属的合适定义，建立了非交换微分从属鞅的弱型和强型不等式，从而为非交换微分从属理论搭建了一个合适的框架，特别本项目的研究和积累为即将解决非交换分析中长时间的开问题--非交换的good-lambda不等式提供了关键的思想。