表代数及Schur环中的几个问题研究

In this proposal, we will study some problems in applications of table algebras to finite groups and representation theory of finite groups and some problems in Schur rings. First, by using table algebra as a tool, we shall consider the nilpotence class of a special class of finite nilpotent groups. Additionally, we will consider the nilpotence class of the closed subset of a table basis of a standard nilpotent table algebra generated by all linear basis elements and nonlinear basis elements with smallest degree. These results are generalizations of results of A.Mann and I.M. Isaacs on conjugacy classes of finite nilpotent groups.Second, we shall discuss properties of table algebras whose table bases can be decomposed as union of nilpotent closed subsets. These are generalizations of recent results on groups of R.D. Blytha et al. Third, we will study the depth of extensions of table algebras. For problems in Schur rings, we will study a generalization of Burnside groups whose primitive theories of supercharacters are trivial and generalize classical methods of Wielandt dealing with Schur rings. In addition, we shall study the structure of prime spectra of extended Schur rings and the structure of Schur rings over finite metacyclic groups.

本项目主要研究表代数在有限群论及其表示论中的应用和Schur环中的几个问题。 我们将利用表代数来研究一类特殊的幂零群的幂零长， 同时考虑标准的幂零表代数中由线性元和次数最小的基元生成的闭子集的幂零长，这是A.Mann和I.M. Isaacs等人关于有限幂零群的共轭类方面结果的推广。 另外， 我们将研究表基能够分解为幂零闭子集的并的标准表代数的结构， 这是R.D.Blytha等人在这方面的关于群的结论的推广。 最后， 我们将研究表代数扩张的深度。 在Schur环的研究方面，我们将研究一类广义的Burnside群（这类群上的本原超特征标理论只有平凡的）并把Wielandt等人处理Schur环的经典方法推广到这类群的研究中。 同时研究系数扩张之后Schur环的素谱结构并研究亚循环群上的Schur环的结构。

本项目研究了中心Schur环的Schur-Wielandt理论， 以及拟TI的配型的Schur性； 同时研究了由标准表代数的特征标表的信息来刻画表代数的性质的问题， 并研究了这些理论在有限群及概型理论中的应用； 利用了p-标准表代数的特征标的值来研究这类表代数的结构；研究了一些有限群常特征标相关结论在Brauer特征标情形下的推广。本项目执行期间组织一次国际学术会议，共发表论文11篇， 出版专著1本。