广义q-Schur代数的表示及其导出范畴

广义q-Schur代数是q-Schur代数的推广，它的表示理论与简约代数群、量子群的表示理论紧密相连。当q取域中的可逆元时，广义q-Schur代数在域上是拟遗传代数，从而其表示范畴是高权范畴。本项目主要是研究q取可逆元的情形下广义q-Schur代数的特征倾斜模；以及研究q取单位根及q=0情形下广义q-Schur代数的表示型及其导出范畴的表示型。.申请人与合作者已经利用q-Schur代数的一个几何构造以及0-Hecke代数的结构, 给出了 0-Schur代数的一个表现并确定了0-Schur代数的表示型。进一步中我们希望建立广义q-Schur代数的表示理论与箭图表示理论之间的联系，结合广义q-Schur代数之间存在的映射，给出广义q-Schur代数在q取单位根及q=0情形下的表示型分类。在此基础上，确定广义q-Schur代数导出范畴的不可分解对象及表示型也是我们的努力目标之一。

我们在本项目中给出了量子Schur代数S_q(n,r)在参数q=0时的一组生成元与生成关系，并且证明了这组生成元满足线性箭图的Ringel--Hall代数在q=0时的基本关系。由此得到从退化的Ringel--Hall代数到0-Schur代数正部分的满同态，并且得到了 0-Schur 代数正部分的一个乘法基。经典的Schur代数是拟遗传的，具有有限维的整体维数，张量空间是一个特征倾斜模。而在参数q=0时，我们在该项目中给出了张量空间的一个分解，并由此证明了0-Schur代数是自入射代数，从而有无穷维的整体维数。. 我们在本项目中的第二项主要工作是完全解决了A型量子Schur代数在参数q=0时的表示型分类问题。首先我们证明了当n大于或等于r-1时，0-Hecke代数H_0(r)与S_0(n,r)是Morita等价的。进一步我们证明了在n大于或等于3的情形下, S_0(n,r)是有限表示型的当且仅当r小于或等于3, S_0(n,r)是tame表示型的当且仅当r=4, S_0(n,r)是wild表示型的当且仅当r大于或等于5。在n=2的情形下，S_0(2,r)是有限表示型的当且仅当r小于或等于5, S_0(2,r)是tame表示型的当且仅当r=6, S_0(2,r)是wild表示型的当且仅当r大于或等于7。. 另外，我们完全刻画了S_0(2,r)及S_0(n,4)的代数结构。首先我们证明了S_0(n,r)一共有2个分块代数（Bloc），其中一个Bloc同构于r+1阶的全矩阵代数。而在n=2或r=4的情形下，我们给出了另一个Bloc的Basic代数的Gabriel箭图及生成关系。在仿射情形下，我们给出了仿射0-Schur代数在n大于r时的一组生成元与生成关系，证明了该生成元满足循环箭图退化的 Ringel--Hall 代数的基本关系。从而得到了了从循环箭图的退化的Ringel--Hall代数到仿射0-Schur代数正部分的满的线性映射，并且这个映射限制在合成子代数上是代数同态。近一步我们给出了仿射0-Schur代数正部分的一个乘法基，并且证明了它是相应循环箭图退化的Ringel--Hall 代数的一个乘法基在上述映射下的像。