Birkhoff系统动力学的若干问题研究

伯克霍夫（Birkhoff）力学是哈密顿力学的推广，哈密顿正则方程经过一般非正则变换就变为伯克霍夫方程．伯克霍夫系统动力学理论是包括哈密顿力学和非哈密顿力学的更一般的动力学理论，在力学、物理和工程实际问题中得到广泛应用．本项目将研究伯克霍夫系统动力学的扰动理论、积分理论和对非经典哈密顿系统的应用，包括：①研究由泊松和庞加莱创立的扰动理论的伯克霍夫推广，建立伯克霍夫系统的扰动理论；②深入研究伯克霍夫系统的积分理论和方法，将分析力学中若干独特的积分理论和方法拓展到伯克霍夫系统，以完善伯克霍夫系统的积分理论；③研究非经典哈密顿系统与伯克霍夫系统的关系，实现非经典哈密顿系统的伯克霍夫化，将伯克霍夫系统动力学应用于广义哈密顿系统、广义经典力学系统和机电耦联系统等非经典哈密顿系统．研究意义：①探索伯克霍夫力学理论的新发展；②开辟伯克霍夫力学应用的新领域；③提供研究和解决非哈密顿系统动力学问题的新途径．

伯克霍夫力学是哈密顿力学的推广，哈密顿正则方程经过一般非正则变换就变为伯克霍夫方程。伯克霍夫系统动力学理论是包括哈密顿力学和非哈密顿力学的更一般的动力学理论，在力学、物理和工程实际问题中得到广泛应用。本项目系统地研究了伯克霍夫系统对称性的摄动理论、积分理论和对经典非哈密顿系统的应用：建立了伯克霍夫系统诺特对称性和李对称性的摄动与绝热不变量理论，发现并得到了霍赫曼形式的绝热不变量；提出并建立了积分广义伯克霍夫系统的参数变异法；将雅可比最终乘子法和梯度法推广应用于积分伯克霍夫系统；研究了非自治伯克霍夫系统的泊松理论；研究了伯克霍夫系统李对称性和梅对称性的逆问题，将动力学逆问题的伯特兰定理推广到伯克霍夫系统；系统地研究了广义伯克霍夫系统的五种对称性（诺特对称性、李对称性、梅对称性、伯克霍夫对称性和共形不变性）及其相应的守恒量；研究了非完整力学系统、广义力学系统、非惯性系统与伯克霍夫系统的关系，将这些非经典哈密顿系统纳入广义伯克霍夫系统框架，从而实现了伯克霍夫系统动力学理论对非哈密顿力学的应用。这些工作丰富和发展了伯克霍夫系统动力学理论，提供了研究和解决非经典哈密顿系统动力学问题的一个新途径。