时间尺度上约束力学系统变分问题及其对称性研究

The theory of time scales is the unification and extension of continous and discrete analysis. The research on dynamics of constrained mechanical system on time scales can understand and depict its intrinsic essence more profoundly. As a result of complexity of the problerm, the research is still at the start stage. The project will be in-depth study on the variational problems and the theory of symmetries for constrained mechanical systems on time scales. The main contents include:.①to study the variational problems on time scales for general holonomic systems, the systems with nonholonomic constraints, the Birkhoffian systems, and to establish corresponding dynamical equations and their transversality conditions; .②to study the integration theory and methods of constrained mechanical systems on time scales, to give the definitions of the cyclic integral and the energy integral, and to explore the Routh reduction method and the Whittaker reduction method, the Hamilton-Jacobi method, the theory of canonical transformations and the Poisson theory on time scales; .③to study the symmetries and the quantities of constrained mechanical systems on time scales, and to construct the theorems of the Noether symmetry and the Lie symmetry on time scales; .④to study the problems of perturbation to symmetries and adiabatic invariants for constrained mechanical systems on time scales, and to construct corresponding Noether adiabatic invariants and Hojman adiabatic invariants..This research is conducted in an effort to provide a new approach to researching and solving the complex dynamic problems of constrained mechanical systems, to open up a new field for applying the theory of time scales and ultimately to promote the researches on dynamics of constrained mechanical systems to a higher level.

时间尺度理论是连续和离散分析的统一和拓展。研究时间尺度上约束力学系统动力学能更深刻地理解和刻划其内在本质，但是由于问题的复杂性，研究尚处于起步阶段。本项目将深入研究时间尺度上约束力学系统的变分问题及其对称性理论，包括：①研究时间尺度上一般完整系统、非完整约束系统、伯克霍夫系统的变分问题，建立相应的动力学方程及其相截性条件；②研究时间尺度上约束力学系统的积分理论和方法，定义时间尺度上循环积分和能量积分，研究建立时间尺度上劳斯降阶法和惠特克降阶法、哈密顿—雅可比方法、正则变换理论和泊松理论；③研究时间尺度上约束力学系统的对称性与守恒量，构建时间尺度上诺特对称性和李对称性理论；④研究时间尺度上约束力学系统对称性的摄动与绝热不变量，构建相应的诺特型和霍赫曼型绝热不变量。本项目为研究解决复杂系统动力学问题提供了新的途径，同时开辟了时间尺度理论应用的新领域，从而促使约束力学系统动力学研究上一个新台阶。

时间尺度理论统一并拓展了连续分析和离散分析，因此基于时间尺度理论建立起来的约束力学系统动力学理论可以更准确地刻划连续系统与离散系统以及一般复杂系统的动力学行为及其内在的物理本质。本项目建立了时间尺度上哈密顿原理和广义哈密顿原理，导出了时间尺度上完整和非完整系统的动力学方程；建立了时间尺度上伐夫-伯克霍夫原理和广义伐夫-伯克霍夫原理，导出了时间尺度上伯克霍夫系统和广义伯克霍夫系统的动力学方程；研究了时间尺度上一般完整系统、非完整系统和伯克霍夫系统的三种对称性和守恒量；研究了时间尺度上哈密顿正则变换和二阶伯克霍夫系统的广义正则变换，建立了哈密顿-雅可比方程和雅可比定理；利用循环积分和广义能量积分降阶时间尺度上完整和非完整系统的动力学方程，导出了相应的劳思方程和惠特克方程；利用积分因子法构造时间尺度上伯克霍夫系统的守恒律；研究了在小扰动作用下时间尺度上一般完整系统、非完整系统和伯克霍夫系统的对称性摄动与绝热不变量；建立了时间尺度上完整和非完整系统以及伯克霍夫系统的黑格洛茨广义变分原理、动力学方程和诺特定理；建立了一般完整系统、非完整系统和伯克霍夫系统的黑格洛茨型广义变分原理、动力学方程和诺特定理，并进一步将结果推广到时滞动力学和分数阶动力学；研究了基于非标准拉格朗日函数的动力学系统的三种对称性和守恒量，并进一步研究了在小扰动作用下对称性的摄动与绝热不变量；建立了分数阶拉格朗日系统、哈密顿系统和伯克霍夫系统的动力学方程和诺特定理；建立了基于黑格洛茨广义变分原理的分数阶哈密顿系统和分数阶伯克霍夫系统的动力学方程和诺特定理；建立了含时滞的伯克霍夫系统、时间尺度上含时滞的一般完整系统和伯克霍夫系统的动力学方程和诺特定理。本项目为解决约束力学系统复杂动力学问题提供了新思路和新途径，同时也开辟了时间尺度分析理论应用的新领域。这些研究属分析力学的前沿和创新点，研究成果整体上与国际先进水平同步。