Birkhoff系统中动力学函数的构造方法研究

Birkhoff’s equation is a local representation of the general symplectic structure of a holonomic constrained mechanical system, and the critical physical quantity that determines whether the Birkhoff's equation can be specifically written is the Birkhoffian dynamic functions. The complexity of the constrained system leads to no simple construction method for Birkhoffian dynamic functions. In addition, the existing construction methods lack practicality due to too many limited conditions, and thus the construction method of Birkhoffian dynamic functions becomes an important research topic. . Based on the previous work, this project will conduct further research on the Undetermined-tensor method and Parameter-adjusting method. The integral of the Undetermined-tensor equations is studied by using the classifier method, and the simplification of the Undetermined-tensor equations is studied in conjunction with the dynamics characteristics of the mechanical system. In order to seek the law of parameters in the parameter adjustment method, the known Birkhoffian dynamic functions is first substituted into the parameter equation to inversely solve the parameter value, and then the dynamics properties of the mechanical system is used to analyze the law of the value of the parameter.. Through the research of this topic, we will improve and develop the Undetermined-tensor method and Parameter-adjusting method, and provide new standardized methods for the construction of Birkhoffian dynamic functions. It will promote the development of the geometrical theory of holonomic non-conservative systems and provide a theoretical basis for the study of the structure-preserving algorithms for non-conservative systems.

Birkhoff方程是完整约束力学系统一般辛结构的局部物理实现，决定Birkhoff方程能否具体写出的关键物理量是Birkhoff动力学函数；约束系统的复杂性导致Birkhoff动力学函数没有简单的构造方法，现有构造方法由于限定条件太强而缺乏实用性，因而Birkhoff动力学函数的构造方法成为一个重要的研究课题。本项目在前期工作基础上，对待定张量法和参数调节法做进一步研究：利用分类求解法研究待定张量方程的积分问题，结合力学系统的动力学特征研究待定张量方程的简化问题；为寻求参数调节法中参数的取值规律，先将已知的Birkhoff动力学函数代入参数方程反解出参数值，然后借助力学系统的动力学特征分析参数的取值规律。通过本课题的研究：将完善和发展待定张量法、参数调节法，为Birkhoff动力学函数的构造提供规范化的新方法；将促进完整非保守系统几何理论的发展，为非保守系统保结构算法的研究提供理论依据。

研究背景：Birkhoff系统中动力学函数的构造一直以来都是约束力学系统和保结构计算领域的重要研究内容，在动力学控制领域具有重要的基础性地位，同时也可以应用于强子物理、空间力学、生物物理等领域。本项目基本按原计划执行，并在此基础上对一些新问题进行了探索。.研究内容及重要结果：(1)深入研究了待定张量法中待定张量方程的求解问题，基于试探解的四种不同形式对待定张量方程进行了分类，建立了不同类型的构造理论，解决了诸如谐振子模型、Hojman-Urrutia模型等力学系统的Birkhoff动力学函数构造；(2)基于力学系统的动力学特征简化待定张量方程，研究了Birkhoff力学系统的循环积分、类循环积分以及Hojman积分，证明了Birkhoff函数成为系统第一积分的条件，解决了线性非保守系统、Appell-Hamel椅子轮系统(非线性)以及某些非完整系统的Birkhoff动力学函数构造问题。(3)研究了参数调节法与一阶映射方法的联系，当一阶映射选择合适时将在准坐标下实现其准正则化，而准正则化后的力学系统可以看作是特殊的Birkhoff方程形式，这一研究思路既实现了系统的自伴随化又避免了参数选择的困难。.科学意义：(1)开辟了构造Birkhoff动力学函数的新途径，完善和发展了待定张量法、参数调节法，为Birkhoff理论体系的进一步发展奠定理论基础；(2)为衡量不同数值计算方法的优劣提供理论依据，促进保一般辛结构的新算法的提出；(3)为Birkhoff力学的几何化奠定基础，进一步巩固分析力学在动力学控制领域的基础地位。