基于Quantaloid-enriched范畴的量化Domain理论研究

This project will study the continuity, topological structures and categorical structures in quantaloid-enriched categories （Q-categories for short） with the purpose to establish the foundation for the study of quantitative domain theory through quantaloid-enriched categories. This will provide mathematical foundation for the application of quantitative domain theory in the study of the semantics of programming languages. The contents of the project include: (1) establishing the continuity theory for Q-categories based on the concept of weights, especially we will establish the directed continuity theory for Q-categories; (2) studying the topological structures in continuous Q-categories by the topological theory based on Q-categories; (3) searching Cartesian closed subcategories for certain continuous Q-categories; (4) studying the relations between Q-categories and concept lattices, and establishing the representation of Q-categories with respect to information systems.

本项目将研究Quantaloid-enriched范畴(简称为Q-范畴)中的连续性、拓扑结构和范畴结构方面的性质，目标是建立基于Q-范畴的量化Domain理论基础，从而为应用量化Domain理论研究计算机程序设计语言的形式语义学提供数学基础。主要研究内容包括：(1)基于weight类的概念，建立Q-范畴的一般连续性理论，特别地建立定向连续Q-范畴的概念并研究其相关性质；(2)利用以Quantaloid为基础的Q-拓扑空间的概念，研究连续Q-范畴上的拓扑结构；(3)对特定的连续Q-范畴寻找其Cartesian闭子范畴；(4)讨论Q-范畴与概念格的关系，建立Q-范畴关于信息系统的表示。

量化domain 理论是domain 理论的一个新的分支。本项目的主要研究对象是基于Quantaloid-enriched范畴（简称为Q-范畴）的量化domain理论。具体研究内容包括：（1） Q-范畴的连续性理论；（2）Q-范畴上的拓扑结构；（3）连续的Q-范畴的有关范畴性质；（4）Q-范畴相关结构。目前，本项目的研究得到了如下主要结果：（1）基于weight系统的概念建立了Q-范畴的连续性理论。并进一步研究了两类饱和的weight系统，即平坦的weight系统和不可约的weight系统，这使得我们可以具体的研究Q-范畴的连续性理论。这为进一步基于Q-范畴研究domain理论提供了数学基础；（2）基于只有三个元素的MV-代数H，证明了由liminf完备的H-偏序集构成的范畴是Cartesian闭的。这一结果表明存在赋值格为非frame的liminf完备的模糊偏序集构成的Cartesian闭范畴。这为在非frame的框架下讨论模糊domain范畴的Cartesian闭性提供了重要依据；（3）给出了模糊偏序集的映射空间的连续性的一个刻画定理；（4）我们引入并证明了双有限liminf domain范畴是笛卡尔闭的。这提供了一个Cartesian闭的连续的liminf domain模型。