无穷维Hamilton算子的特征值问题及其应用

The traditional method of separation of variables must sovle the eigenvalue problem of selfadjoint operators, and the complete theory of which has been established in the middle of last century. However, the selfadjointness of an operator is not enough to deal with the non-symmetric physical processes and problems from mathematical mechanics. To this end, academician Zhong proposed the method of separation of variables based on infinite dimensional Hamiltonian systems, which need carry on deep research on eigenvalue problems of the corresponding Hamiltonian operators. Therefore, this project is devoted to the eigenvalue problem of infinite dimensional Hamiltonian operators, including the distribution characteristics of eigenvalues, the geometric multiplicity, algebraic multiplicity and algebraic index of eigenvalues, the symplectic orthogonality of eigen and root vectors, the summability of eigen and root vector systems in the sense of Cauchy principal value, Abel, Fejer and generalized Abel, and their concrete expressions and relationship. Finally, the complete theory of the eigenvalue problem of infinite dimensional Hamiltonian operators will be established, which may provide the theoretical foundation for problems arising in mathematical physics, applied mechanics and engineering, and offer the good method and novel idea for the development of theory of nonselfadjoint operators.

传统的分离变量法必须解决自伴算子的特征值问题，早在上世纪中叶便已形成成套理论。然而，算子的自伴性不能用于解决非对称的物理过程和数学力学问题，为此钟万勰院士提出了基于无穷维Hamilton系统的分离变量法，这要求深入研究相应Hamilton算子的特征值问题。因此，本项目拟研究无穷维Hamilton算子的特征值问题，内容包括特征值的分布规律（如对称性），特征值的几何重数、代数重数和代数指标，特征向量组和根向量组的辛正交性，特征向量组和根向量组在Cauchy、Abel、Fejer(算术平均)、广义Abel等意义下的可和性，以及可和性的具体表达式和各种可和性之间的关系。最终，建立无穷维Hamilton算子特征值问题的成套理论，为数学物理、应用力学和工程实际问题提供理论依据，进而为非自伴算子理论发展提供有益的研究方法和新的研究思路。

上世纪九十年代，钟万勰院士将Hamilton体系引入到弹性力学，提出了基于Hamilton系统的分离变量法（即辛方法）。随后，包括钟万勰教授及其课题组成员在内的国内外众多学者对此方法进行了系统深入的扩展研究，将其成功应用到弹性力学的各个分支、流体力学、功能梯度材料、压电材料等领域中。此方法的理论基础是无穷维Hamilton算子的谱理论，特别是无穷维Hamilton算子的特征值问题。本项目研究了无穷维Hamilton算子特征值的分布、几何重数、代数指标和代数重数，特征向量组和根向量组的辛正交性及可和性，并深入探讨了可和性的具体形式；在此基础上，研究了2^n重调和方程导出的高阶Hamilton算子的特征值问题；研究了算子矩阵的本质谱和Drazin可逆性，Hamilton情形是其特例。在应用方面，我们首次将辛方法应用到准晶平面弹性问题的求解当中，包括10mm十次对称准晶弹性平面问题、点群12mm十二次对称准晶平面弹性问题和20面体准晶平面弹性问题，为准晶平面弹性问题的求解提供了新途径，在一定程度上扩展了辛方法的应用范围。上述结果在一定程度上揭示了无穷维Hamilton算子特征值的分布规律，给出特征值的代数指标的判别定理，建立了无穷维Hamilton算子特征值问题的成套理论，为数学物理、应用力学和工程实际问题提供理论依据。. 本项目发表学术论文10篇，其中SCI论文5篇。另外，接受SCI论文1篇，投稿论文2篇(在审)。同时，在项目执行期间，主持人入选内蒙古自治区新世纪“321人才工程”人选二层次(2015.11)。