无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性及其应用

许多连续统力学问题导出的偏微分方程，诸如流体力学、弹性力学问题中的偏微分方程以及发展方程问题，其中包括KdV方程、K-P方程、Maxwell等方程可以导向无穷维Hamilton系统，进而得到它们的无穷维Hamilton正则表示。据我们所知，无穷维Hamilton正则系统是形式上可以分离变量的，并且分离变量以后运用无穷维Hamilton算子特征函数系的辛正交性，可以得到辛正交系表示的解析解。因此，以上应用偏微分方程的解析解可以用无穷维Hamilton算子特征函数系（辛正交系）来表示。然而，在无穷维Hamilton系统中采用传统分离变量法是否合适和正确呢，这个问题的理论基础是特征函数系的完备性问题，因此，本项目试图通过研究无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性，对于无穷维Hamilton系统中采用传统分离变量法提供理论基础，进而解决一类力学中的偏微分方程的求解问题。

以无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性研究为主线，项目组在无穷维 Hamilton 算子的谱分析、特征函数系的完备性、二次数值域及算子矩阵的补问题等方面取得重要进展，相关成果为弹性力学求解新体系提供了较完善的理论框架，并已经成功应用于实际力学问题。研究内容按计划进行，进展顺利，超额完成了预期研究目标。在《Integral Equations and Operator Theory》、《Linear Algebra and its Applications》、《Journal of Operator Theory》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《Mathematische Nachrichten》、《中国科学：数学》、《力学学报》、《固体力学学报》等国内外数学、物理及力学方面的学术期刊上发表论文51篇，其中SCI收录23篇，1篇Top期刊论文。在科学出版社出版学术专著1部。一些结果被国际算子理论方面的多名学者引用。此外，ESI统计显示，我们3篇论文2012年进入全球数学论文被引情况百分位分析10%。2011年本项目主持人获内蒙古自治区自然科学二等奖，奖励题目为"无穷维Hamilton算子的谱结构及其完备性"。