多元算子论中的若干基本问题

Multivariable operator theory is a field under rapid development in modern operator theory. Hilbert module which was introduced by Douglas， Arveson and other experts is a natural framework to study multivariable operator theory. Many ideas and techniques in algebra, topology and geometry have been introduced into Hilbert module, which provide new viewpoints and motivations for the development of multivariable operator theory. The study of submodules and quotient modules intimately related to analytic varieties establishes a new connection between operator theory, operator algebra and other branches of mathematics, such as commutative algebra, algebraic geometry and complex geometry. We intend to study Arveson and Douglas' conjecture about essential normality of Hilbert modules over domains in higher dimensions. We will also calculate K-homology for quotient modules and show the index formulas to reveal the relation between K-homology and the fundamental classes of the associated analytic varieties and projective varieties. Furthermore, we will explore analogues of Hilbert Nullstellensatz theorem in Hilbert module, and study the structures of the submodules generated by polynomials to disclose their correspondence with the zero varieties. Finally, we will develop the abstract theory for the invariants from commutative algebra such as fiber dimension and Samuel multiplicity, and study their applications in solving classical functional analysis problems.

多元算子理论是现代算子论中一个迅猛发展的方向。Douglas、Arveson等人所介绍的Hilbert模是研究多元算子理论的自然框架，由此引入的代数、拓扑、几何等学科的思想方法为多元算子论的发展提供了新的视角和动力。其倡导开展的与解析子簇密切相关的Hilbert子模与商模的研究为算子理论算子代数与交换代数、代数几何及复几何等其他数学分支的相互交融建立起了新的桥梁。我们拟将研究Arveson和 Douglas 提出的高维区域上Hilbert 模本质正规性的猜想。同时计算商模上的K-同调，给出对应指标公式的具体实现，探索本质谱所确定的代数簇、射影零簇基本类之间的关系。另一方面，寻求Hilbert零点定理的对应版本，研究多项式生成子模的结构问题，建立其与底空间零簇的对应关系。此外，我们也将发展诸如纤维维数、Samuel重数等交换代数不变量的抽象理论，研究它们在经典泛函分析问题中的应用。

本项目主要研究多元算子论Hilbert模领域的一些重要问题。近半个世纪以来，著名数学家 R.Douglas、W.Arveson倡导的多元算子Hilbert 模纲领为算子理论的发展注入强劲动力，为多元算子谱理论及不变子空间等问题的研究开辟了广阔视野。我们研究了多元算子Hilbert 模核心问题Arveson-Douglas猜测，并利用所引入的代数、几何的新思想方法研究了许多经典问题，取得了一些重要进展。我们的主要成果总结如下：1.研究了子模有限和的问题，证明了和是闭的当且仅当对应算子的谱集中0是孤立点，由此给出了许多本质正规性子模的例子和特征;研究了有界对称域rank 1零簇的性质，提出了一类新型的sub Hilbert模，证明了对应的商模是有本质正规性的，并利用Boutet de monvel等人的流形上Toeplitz算子分析，给出了对应的指标公式，显示了相应零簇的几何信息；证明了在区域维数d不超过3的Arveson空间中拟齐次多项式情形的算子不等式，这也蕴含了在维数不超过3的一般拟齐次多项式子模都是本质正规的；对Bergman空间上子模投影算子，刻画了其可表示为乘法算子组和的形式时子模的具体形式。2. 利用多元算子论引入的新思想和新技术，定义了Cowen-Douglas算子的一族高阶曲率，并证明对于压缩算子其高阶曲率也受单位圆上Szego核控制,更进一步的，证明了对于一类有重要意义的Cowen-Douglas算子高阶曲率不等式蕴含了算子的压缩性; 结合函数空间和算子理论的知识，完全解决了Curto 和Yoon 等人提出的计算S(a,b,c,d)型的加权移位算子的Berger测度的问题，并将其用于多元次正规算子组的反向扩张定理的计算中;使用算子论的观点研究了著名的Lehmer猜测问题，提出了两种新的算子Mahler测度,并比较了与数量值Mahler测度的关系。基于我们的结果，共完成论文11篇，其中9篇已发表，2篇已接受，完成了预期目标。