算子概率论中的算子论和算子代数问题

非交换概率论（量子概率论）是基于算子代数上的概率论。算子概率论是基于Hilbert空间H上的所有线性有界算子B(H)这一特殊的算子代数的概率论。本项目研究算子概率论中的算子论和算子代数问题。由于B(H)本身是一典型的非交换的算子代数，在算子概率论的研究中算子的交换性，算子（向量）的纠缠性等这类非交换算子代数特有的性质，将会在研究中起到本质的作用。本项目将重点研究算子概率论中的压缩正算子的序贯积，算子数值域的乘积，算子代数中的保持问题等。本课题的研究思路和方法是，借助于精细的算子谱理论，依赖算子的分块技巧，从正交射影之间的量化刻画入手，对算子概率论中的问题进行深入研究；探索使用算子概率论的研究思想，给出算子交换性，算子的纠缠性，算子保持等问题的新刻划，并发现和开拓出算子论和算子代数研究的新视角。算子概率论与算子论和算子代数这两个分支，相互渗透将成为本课题在研究方法上的突出特点。

本项目依托算子概率论的思想和方法，在多个各自不同又有密切联系的研究方向上，在具体的各自的研究中不断发展算子分块的技巧。在本项目4年的研究中，课题组各位同仁们分工互助，通力合作，取得了丰富的研究成果。项目进行的比较顺利，在本项目执行的这四年时间里，共资助发表论文45篇，其中SCI类期刊32篇，SCIE期刊3篇，权威期刊4篇，核心期刊5篇。. 最值得关注的是如下两个成果。. 1. 使用算子概率论的思想和分块算子的技巧，去掉算子为自共轭的限制，我们分别给出了对希尔伯特空间上的任一对算子的Heisenberg-type和Schrodinger-type 不确定性关系。在此基础上，推广了被广为关注的骆氏(骆顺龙)定理。我们给出了Wigner-Yanase-Dyson 偏振信息的一个推广，并从算子谱理论入手，研究了这类Wigner-Yanase-Dyson 偏振信息和与之相关的量的一些性质，得到了关于Wigner-Yanase-Dyson 偏振信息的凸性的一个初等证明。. 2. 研究了强纠缠破坏信道在可数可分态之间的插值问题和强纠缠破坏信道的数学结构和特征描述，将著名的Choi定理从有限维空间延伸到无限维空间，并研究了量子信道在保持插值条件下的收敛性，拓扑结构和几何特征。. 探讨了在最优关系下，两个概率分布的Shannon熵的性质，并将Uhlmann的一个定理由有限维空间推广到无限维空间。在此基础上，证明了对任一量子信道Φ，对所有的量子态ρ都有S(Φ(ρ))=S(ρ)当且仅当存在一个等距算子V 使得 Φ(ρ)=VρV∗，其中关于量子态ρ的von Neumann 熵S(ρ)的定义为S(ρ)≡−tr(ρlog(ρ)).. 除此之外，本项目的研究成果可大致分为4个方面。1. 关于量子计算机的数学理论的研究。 2. 关于量子计算和量子信息论中一些问题的研究。3. 关于绝热逼近理论的研究。4. 算子论和算子代数的相关问题研究。这些研究发表在国内外多个著名的数学杂志和理论物理杂志，这些研究不仅大大丰富了算子谱理论和算子分块技巧，同时也提出了一些使用算子概率论的思想和方法，值得进一步关注的涉及到算子几何结构，算子谱理论，以及和理论物理密切相关的一些新的研究课题。