具有临界指数增长的椭圆型方程若干问题的研究

In this project we mainly study some problems on elliptic equations with critical growth by variational methods. Such problems are related to Mechanics, Physics, Astronomy and Material science etc, which have great meanings both in theory and practice. However, because of the lack of compact condition, it is difficult to solve these problems. We shall do our best to overcome this difficulty in this project. At first, we study the existence of solutions for Schr?dinger equation, p-laplace equation, Schr?dinger-Possion system, Kirchhoff equation and qusilinear elliptic equation with critical growth. Moreover, we are also interested in the existence of solutions for semiclasscal case, which is also a focus for physicists. Then, we study the existence and multiplicity of solutions for strongly .indefinite elliptic equations and Dirac equations. In particular, we also care about the existence of solutions for strongly indefinite problems with convex and concave nonlinearities.

本项目主要利用变分方法研究具有临界指数增长的椭圆型方程及其相关问题。这些问题与力学，物理，天文和材料科学等学科有密切联系，具有重要的应用背景和理论价值。但由于缺乏紧性条件，这些问题的研究有很大难度，本项目力求突破这一难点。首先，研究具有临界指数增长的Schr?dinger方程、p-Laplace方程、Schr?dinger-Possion系统、Kirchhoff方程和拟线性椭圆方程中解的存在性及其相关问题，重点关注半经典情况下解的存在性及其性质，这同样是物理学家关注的重点。然后再对具有临界指数增长的强不定椭圆型方程和Dirac方程中解的存在性和多重性等问题进行深入探讨，得到一些新的研究成果，特别关注在凸凹组合的非线性增长条件下系统解的存在性及其性质。

利用变分方法解决非线性偏微分方程问题是目前国际数学研究中非常活跃的研究领域。由于其在数学科学发展中的前瞻性、交叉性和广泛性，该领域一直受到国际数学界和物理学界的长期关注。这些非线性微分方程问题来源于力学，物理，天文和材料科学等学科，具有重要的应用背景和理论价值。但由于缺乏紧性条件，这些问题的研究有一定难度，本项目突破了这一难点，取得了以下的研究成果：第一，运用Ljusternik-Schnirelmann畴数定理，证明了薛定谔和薛定谔-泊松系统中多解的存在性及集中性。此外，研究了薛定谔-泊松系统中多包解的存在性和多重性，并首次给出了两个包之间的最小距离。第二,研究了具有势阱位势的Kirchhoff问题，证明了基态解的存在性，并且得到了解的渐进性态。第三，在非线性项更弱的条件下，证明了半经典P-Laplace系统中解的存在性、多重性和集中性。最后，对弱耦合的椭圆方程组的研究，一方面证明了当耦合系数一个满足一定最佳条件下，证明了系统基态解的存在性和解的渐进性态，同时，得到了解的多重性和集中性。另一方面在参数满足一定的最佳条件时，证明了非局部的弱耦合薛定谔方程组中基态解的存在性、解对存数连续依赖性和唯一性，为进一步对此问题的研究提供了重要的基础。此部分解的多重性和集中的结果是第一个关于此类弱耦合系统的结果，揭示了这类问题解的丰富结构。