具有临界指数增长的拟线性薛定谔方程多解的研究

Quasilinear Schrödinger equations is the abstract model of many physical phenomena. Many scholars have always been interested in the existence of solutions and multiple solutions, few researchers studied the existence and nonexistence for quasilinear Schrödinger problems with multiple nodal solutions. The project will discuss the existence and nonexistence of multiple nodal solutions for several quasilinear Schrödinger problems in depth, which using the variational method, critical point theory and so on, and then reveral the existence of nodal solutions for quasilinear problems. The above problems have not only been widely used to theoretical physics, fluid mechanics, celestial mechanics and so on, but also promoted differential geometry, topology, variational theory and other important theoretical branch. Therefore, the research not only enrich the theory of differential equation, but also promote the development of other mathematical branch and application branch, so the subject is very importmant in the theory and the application.

拟线性薛定谔方程是许多物理现象抽象出来的模型。这类方程解的存在性、多解性的研究，一直被人们所关注。目前较少学者对拟线性薛定谔方程多个变号解的存在性以及非存在性进行研究。本项目主要利用变分法、集中紧性原理和临界点理论的相关工具及分析技巧对几类拟线性薛定谔方程的多个变号解的存在性和非存在性进行深入探讨。进而揭示拟线性薛定谔问题存在变号解的一般规律。上述问题的研究不仅涉及到理论物理、流体力学、天体力学等重要的应用领域，同时也促进了微分几何、拓扑学、变分理论等重要理论分支的飞跃发展。因此，我们的研究，既能丰富微分方程理论，又能促进其它数学分支和应用分支的发展，因而无论从理论上还是从应用上都是十分重要的。

带临界指数的拟线性方程来源于许多应用学科。这类方程解的存在性、多解性的研究，一直被人们所关注，这也源于现在有很多关于椭圆型方程多解的结果。通过成员的共同努力，我们首先得到了一类带临界指标的拟线性薛定谔方程的无穷多个解，后来我们对全空间中带加权项和临界指标的拟线性薛定谔方程的基态解产生了兴趣，并将它推广到p-拉普拉斯型薛定谔方程。本项目还得到了退化型的分数阶方程和Kirchhoff类方程的无穷个解。. 我们主要利用变分法、集中紧性原理和临界点理论的相关工具及分析技巧对以上几类方程的多个解的存在性进行深入探讨。也得到了它们存在多个解的一般规律，促进对这类问题进一步深入地关注和研究。 . 上述问题的研究不仅涉及到理论物理、流体力学、天体力学等重要的应用领域，同时也促进了微分几何、拓扑学、变分理论等重要理论分支的飞跃发展。希望通过本项目的实施，促进对该类问题进一步的关注和研究，为其他学科的相关问题研究提供理论依据，也为相关非线性问题的研究提供理论基础。