抛物和椭圆型方程和方程组的若干问题

First, we study some apriori estimates and their solvabilities of parabolic and elliptic equations or systems with the assumption of VMO or partially VMO leading coefficients if the inhomogeneous term f belongs to Hardy spaces,Lorentz spaces or Zygmund classes. Some estimates of nonlinear parabolic and elliptic problems with discontinuous coefficients are investigated in sense of the mixed norm or the norm with the Muckenhoupt weight functions.Moreover,we study anisotropic Schauder estimates for parabolic and elliptic equations under higher partially regular coefficients. Second,we study an application of Green function to the regularity and singularity analysis for second prder parabolic and ellptic equations with divergence form by way of various estimates of their Green functions. Finally,we study the concentration compactness phenomena,blow up analysis,bubling analysis and energy quantization for geometric problems of partial differential equations.We study the convex inequality,uniqueness and blow up analysis for the heat flow of p-harmonic maps and polyharmonic maps.Furthermore,we explore the mathematical meaning for the Ossen-frank modelling and Landau-de Gennes modelling to liquid crystal problems. In a word,this project will enrich the theory and method of partial differential equations and geometric analysis in a large degree.

在主项系数满足VMO正则或部分VMO正则下,研究自由项在Hardy空间、Lorentz空间、Zygmund函数类的抛物和椭圆型方程及方程组的先验估计和可解性,并考虑各种增长下的非线性问题的混合范数估计、加权范数的Lp估计以及可解性理论; 在主项系数满足更高的部分正则性下,研究抛物和椭圆方程的Schauder估计及相应的可解性. 研究抛物和椭圆方程的Green函数性质,应用其在正则性问题和奇点附近的渐进分析. 研究几何偏微分方程的集中紧性现象、Blow-up分析、Bubbling分析和能量量子化; 研究p-调和映射和重调和映射的热流在Serrin型条件下的凸不等式、唯一性和Blow-up性态; 探索液晶Ossen-Frank模型和Landau-de Gennes模型的数学内涵. 该项目将在很大程度上丰富了偏微分方程和几何分析领域的理论和研究技术.

本项目主要研究内容及重要成果如下: 1. 拓展了偏微分方程研究包含Calderón-Zygmund理论作为特例的Lorentz空间正则性理论，包含散度型和非散度型、线性和非线性、一致和退化的椭圆和抛物问题和相关的障碍问题、渐进正则问题，以及各向异性的变指数增长椭圆、抛物问题以及(p,q)-增长的双相问题的正则性。2. 研究了有着弹性力学、图像重建、分层材料和磁流体动力系统实际背景的复杂偏微分方程问题，建立了已知数据在极弱条件下的椭圆和抛物问题整体Calderón-Zygmund型理论。对线性方程: 研究主项系数是部分正则、区域几何结构不很规则的散度型方程在Orlicz、 Lorentz空间以及变指数次幂函数空间的正则性。对拟线性和完全非线性椭圆和抛物方程：研究弱条件下弱解、强解和粘性解的Lorentz正则性理论等。(3) 考虑几何偏微分方程所涉及的特殊函数构成比值的各种性质，证实了Baricz关于修正Bessel函数商的严格对数凸性的猜想, 也解决了Hornik和Grün涉及特殊函数的公开问题。(4) 建立到紧Riemann流形的p-调和映射和多重调和映射的紧性、Blow-up分析，对于退化次椭圆p-Laplace型方程, 建立低于临界增长下的Schauder估计和Morrey正则性。(5) 建立各种情况下各向异性的泛函和相关椭圆方程及其障碍问题的弱解和很弱解有界性和最优可积性分类的已知数据正则的充分条件。.项目的研究成果极为丰富，在国内、外知名的重要期刊上发表论文45篇。这不仅按期完成了课题的预期目标, 还极大地拓展了项目研究的广度和深度。作为本研究产生的关联NFSC-ERC项目，访问西班牙巴斯克应用数学中心(BCAM)；同时，课题的实施过程中培养该研究方向的一批博士和硕士研究生。