全空间上几类椭圆型方程中若干问题的研究

In recent years, the exitence and properties of solutions to elliptic equations in whole space have drawn many mathematicians’ attention. Such problems are related to Bose-Einstein condensates theory, atomic physics, nonlinear optics and material science etc, and so they have great value of study in both theory and practice. As is well known , because of the lack of compact condition and the special structure of the equations, there are many difficulties for these problems. In this project, we want to use the methhod of nonlinear functional analysis and dynamical system to study some related problems. First, we consider the existence of ground state solutions, sign-changing and multi-bump solutions, and the phase separation of solutions; in particular, we also consider the uniqueness of positive solution. Second, we study some problems of ground state and vortex solutions for a class of ellpitic equation with quadratic and mixed nonlinearities. Particularly, we study the existence and multiplicity of vortex solutions. Finally, we are concerned with the existence of qusi-periodic solutions for some shallow water wave equations. In sumarry, with this project we try to develop some methods and obtain some new results.

全空间上椭圆型方程解的存在性及其性质的研究是近年来学者关注的热点之一，因其与物理中的Bose-Einstein凝聚,原子物理学，非线性光学和材料科学等有密切联系，因而具有重要的应用背景和理论价值。然而，由于缺乏紧性条件和方程本身的特殊具体结构，这些问题的研究有很大难度。本课题拟利用变分方法和无穷维KAM理论等对该问题展开研究。首先，探讨带有非局部交叉项的椭圆型方程中基态解、变号解和多包解的存在性和解的相位分离性，以及正解的唯一性。其次，对具有二次非线性增长条件和混合非线性增长条件的椭圆型方程基态解和涡旋解等问题进行深入研究，特别关注椭圆型方程组中涡旋解的存在性和多重性。第三，研究波方程的拟周期解存在性等问题。力求对现有研究方法进行发展和创新，得到一些新的研究成果。

利用变分方法解决全空间上非线性偏微分方程问题是目前国际数学研究中非常活跃的研究领域。由于其在数学科学发展中的前瞻性、交叉性和广泛性，该领域一直受到国际数学界和物理学界的长期关注。这些问题与物理中的Bose-Einstein凝聚,原子物理学，非线性光学和材料科学等有密切联系，因而具有重要的应用背景和理论价值。然而，由于缺乏紧性条件和方程本身的特殊具体结构，这些问题的研究有很大难度。本项目突破了这一难点，取得了以下的研究成：第一，证明了非局椭圆型方程组问题解的存在性，多重性和集中性，并且得到了规范解的存在性和性质。第二，巧妙结合Morse理论、凸集上的Mountain-Pass定理和Nehari流型方法克服非齐次项带来的困难，解决了二次增长椭圆方程组中多解的存在性及其性质问题。第三，通过建立新的微分不等式，证明了Keller-Segel椭圆型方程组次临界质量情况下解的唯一性和解关于时间的渐进行为。第四，探讨了次临界情况下薛定谔-泊松系统解的存在性、多重性及集中性。此外，在多个竞争位势情况下，克服位势最值之间的干涉，证明存在性和构造了解集中的新集合。最后，研究了半经典Kirchhoff问题，通过克服临界指数导致缺乏紧性条件带来的困难，证明了解的存在性、多重性和集中性。