完全非线性共形不变退化椭圆型方程的研究

Fully nonlinear Yamabe problem is an important topic in the study of conformal geometry. It has received much attention in recent years. A class of second order fully nonlinear conformally invariant equations arise in the blow-up analysis of the geometric problem. Due to the equations’ degenerate ellipticity, the study of the solutions to this class of equations is not only of great importance in solving the fully nonlinear Yamabe problem, but also challengeable in the classical partial differential equation theory... Based on previous work about this class of equations, the project intends to develop more analysis tools in view of classical viscosity theory of second order elliptic equations, to obtain the locally Lipschitz regularity by applying the comparison principle and the conformal invariance of the equation, to obtain the existence and uniqueness of the Dirichlet problem and the nonlinear Green's function by constructing appropriate subsolutions via the first variation of the equation and the Perron’s method, and to establish the perturbation theory of the equations.

完全非线性 Yamabe 问题是共形几何学中的重要研究课题, 近些年来备受关注. 在对该几何问题的解进行爆破分析时, 出现了一类二阶完全非线性共形不变方程. 由于这类方程所具有的退化椭圆性, 对于该类方程解的性质的深入研究, 不但有助于解决完全非线性 Yamabe 问题, 对经典的偏微分方程理论也具有一定的挑战性... 基于申请人之前关于该类方程的研究工作, 本项目拟从经典的二阶椭圆型方程的粘性解理论出发, 对这类退化椭圆型方程发展分析工具, 拟利用比较原理并结合方程的共性不变性得到粘性解的 Lipschitz 正则性, 利用方程的第一变分形式并结合 Perron 方法恰当地构造下解以得到 Dirichlet 问题与非线性 Green 函数的存在唯一性, 并建立该类方程的扰动性理论.

完全非线性 Yamabe 问题是共形几何中的重要研究课题, 近些年来备受关注. 在对该几何问题的解进行爆破分析时, 出现了一类完全非线性共形不变方程. 对于该类方程解的性质的深入研究, 不但有助于解决完全非线性 Yamabe 问题, 对经典的偏微分方程理论也有所丰富...本项目从经典的椭圆型方程的粘性解理论出发, 发展了新的分析工具. 对于退化椭圆型的共形不变方程, 建立了该方程的比较原理, 第一变分形式, 进而得到了粘性解的局部 Lipschitz 正则性与 Drichlet 问题的存在唯一性. 作为该结果的推论, 该方程的 Liouville 型定理中关于粘性解的正则性条件可以完全去掉. 对于椭圆型的共形不变方程, 得到了 Hopf 型引理与强比较原理, 从而改进了经典的移动球面法, 得到了该方程在全空间上局部 C^{1,1} 的粘性解的 Liouville 型定理. 本项目的研究结果发表在《Calc. Var. PDE》,《Discrete and Continuous Dynamical Systems》等期刊上.