高维具共形不变的非线性椭圆方程组及相应的热流方程研究

具共形不变的非线性椭圆方程组在微分几何和理论物理的研究中起着非常重要作用；分析上，由于这类问题解空间的特点，引发人们对一些熟知的理论的深入发掘和重新定位，其中的典型代表有诸如：Hardy空间、Hodge分解和几何层化结构分析等。本项目主要研究两类与共形不变相关的非线性方程组：其一研究一类高维具共形不变性的能量泛函变分问题解的正则性与其解序列的紧性刻划，同时研究其相应的热流方程解的性质。其二，来源于理论物理中非线性Sigma模型，研究一类带旋量场项和位势项的非线性Sigma模型（带位势项的狄拉克-调和映射方程组）。尽管熟知的两维的共形不变方程组，如调和映射、极小曲面等，已取得了巨大的进展，然而高维这类问题显得异常复杂，尤其这两类问题中退化项及旋量场项的出现。本项目将通过发展新的理论，技巧和方法，深入地研究这两类非线性问题的层化结构，为解决这类问题中一些长期未解决的问题作出贡献。

结题摘要：.本项目主要是研究具共形不变的非线性椭圆方程组的正则性和奇性分析，这类问题主要来源于微分几何和理论物理；有非常重要的现实背景和理论意义。我们在原来提出的两类非线性椭圆组研究上均有重要和有意义的贡献和进展，其中在关于来源于数学物理中非线性σ模型问题，也即带曲率项的DIrac-Harmonic映射的研究上取得重大进展。完成两个重要工作，其中一篇已经发表；另外一篇已经完成，同时该类问题Bubble和No Neck方面的分析研究也在进行中。在四维共性不变非线性椭圆柱研究上由于原来提出的问题已经被法国数学家T. Riviere 在两篇重要文章中解决，所以我们的研究其中在另一类相关问题研究上，并也取得一定进展。具体的问题描述大致为：在双调和映射存在性的Sacks-Unlenbeck方法上取得有意义进展。在对该类问题研究中其实我们发现另一类关于四阶椭圆方程组Lp估计的问题；这类问题在二阶椭圆组中就是重要的Morrey型结果。但到四阶椭圆组问题中这类结果几乎是空白，没有任何的成果可以参考。对该该问题的研究促使我们必须研究Morrey型估计在四阶椭圆方程组中是否成立。在这个问题方面我们也有重要的进展。另外两个问题与本项目申请书上的问题研究有关系，我们也作出了一些工作；关于Quasi-Harmonic sphere的Liouville定理研究最近有所发现，这个问题时本人2010年访问德国同王国芳教授合作研究的问题，已经取得一些重要结果。另外，该项目另一主要合作者杨海涛教授在用变分法研究非线性偏微分方程的存在性方面取得许多重要工作；极大丰富和深化该项目研究成果。这些成果对我们以后再申请国家自然科学基金项目做出良好的铺垫和研究积累。