Hermitian几何中的退化完全非线性椭圆方程

Since Yau solved Calabi conjecture, the study of fully nonlinear elliptic equations has become a hot research topic. A priori estimates are the key and foundation of solving these equations by using continuity method. Recently, driven by Guan and Székelyhidi etc., a priori estimates have obtained much more significant development. However, the study of gradient estimate for more general equations (especially its Dirichlet problem) still needs to be further developed. ..Therefore, in this project, based on the research of Yau, Caffarelli, Nirenberg, Spruck, Guan, Székelyhidi etc., the applicant will use Bernstein method and blow-up analysis to solve the gradient estimate. The applicant's boundary estimate will be also useful. The applicant is also going to establish its optimal regularity of the solution of the degenerate equations. The results obtained in this project will be further applied to the problem similar to Donaldson conjecture. The expected results of this project will promote the study and understanding of degenerate fully nonlinear elliptic equations and provide a unified approach to certain geometric problems.

自从Yau解决Calabi猜想以来，完全非线性椭圆方程的研究已经成为热点。先验估计是使用连续性方法求解这些方程的关键和基础。近年来，在Guan和Székelyhidi等人的推动下，先验估计已取得长足进步。然而，对于更一般方程（特别是其Dirichlet问题）的梯度估计的研究仍有待进一步深入。因此，在本项目中申请人基于Yau、Caffarelli、Nirenberg、Spruck、Guan、Székelyhidi等人的研究，并结合申请人已取得的边界估计，将使用Bernstein方法和爆破分析来试图解决退化方程解的梯度估计及其最优正则性。进一步将所得结果用在类似于Donaldson猜想的问题中。为使用爆破分析，申请人还需发展更广泛的Liouville型定理。本项目的预期结果将推动退化完全非线性方程的研究和理解，并对某类几何问题提供一个统一的处理方法。

在这个项目中我研究了Hermitian流形上的完全非线性椭圆方程。这类方程的研究可追朔到Caffarelli-Nirenberg-Spruck (Acta Math 1985)，它包含了著名的复Monge-Ampere方程。复Monge-Ampere方程在丘成桐解决卡拉比猜想的工作中起了重要作用。为使用连续性方法求解方程，我们需要得到解的零阶、一阶和二阶先验估计，使得我们能够运用Evans-Krylov定理和Schauder理论得到高阶估计。..在该项目资助下，我完成如下工作：..1、与关波和邱春晖教授合作(Adv. Math. 2019)，我研究了Hermitian流形上一类完全非线性方程，得到了解的内估计和存在性。值得注意的是，复流形上完全非线性方程解的内估计一般是不成立的。我们利用这些结果研究了Hermitian流形上混合Chern-Ricci形式的共形形变，在Hermitian流形上建立了与Gursky-Viaclevsky(Indiana U. Math. J. 2003)类似的结果。此外，这篇文章中得到的估计可用于研究退化方程。..2、我研究了Kahler锥的环形区域上的一类完全非线性椭圆方程，这类方程允许退化。这些Kahler锥为紧致无边Sasaki流形的度量锥。当方程退化时，这类方程的Dirichlet问题与Sasaki度量空间中的测地线方程密切相关。利用我之前文章（未发表）所发展的技术，我得到了量化边界估计。这个量化边界估计使得我们能够利用爆破法(Dinew-Ko{\l}odziej, Amer J Math 2017; Szekelyhidi, JDG 2018)去导出梯度估计。这篇文章中的先验估计可用于退化方程。因此极大地推广了管鹏飞和张希关于Sasaki度量空间中测地线的存在性和正则性的结果。..3、我研究了Hermitian流形上的一类完全非线性椭圆方程的Dirichlet问题。主要难点在于建立梯度估计。当方程对应的锥是个正锥时，在假设方程的某个缩放方程具有C-次解的假设下，我建立了梯度估计并证明了解的存在性。这篇文章中的方法给复Monge-Ampere方程的梯度估计一个简洁概念性的证明。复Monge-Ampere方程的梯度估计为Blocki (Math Ann 2009)和Guan-Li(Adv Math 2010)。