组合矩阵的全正性问题研究

Total positivity is a concept of considerable power that plays an important role in various domains of mathematics. Combinatorial matrices are the main objects of enumerative combinatorics. This project focuses on the total positivity of some typical combinatorial matrices. Mainly includes:.1. Total positivity of Riordan arrays. We will study various positivity properties of Riordan arrays, including the total positivity of such a matrix and the unimodality properties of each row and each column, by means of algebraic approaches and lattice path enumerations..2. Total positivity of Aigner matrices. We will investigate the total positivity of such matrices and the Stieltjes moment property of each column, by using recursive relations and the Hankel determinants of each column..3. Brenti’s conjecture about the total positivity of Eulerian triangle. We will explore the total positivity of Eulerian triangle and Eulerian polynomial triangle respectively. We look forward to find evidence to prove this conjecture.

全正性理论是数学研究的重要工具，对全正性问题的研究是数学研究的前沿领域。组合矩阵是计数组合学的基本研究对象，本项目将选择一些经典、有代表性的组合矩阵，研究它们的全正性问题，主要包括：.1. Riordan矩阵的全正性问题。我们将结合代数途径和格路计数方法，研究Riordan矩阵的全正性及其行、列序列的单峰型性质。.2. Aigner矩阵的全正性问题。我们将通过递归关系及Hankel行列式的计算，研究Aigner矩阵的全正性及其列序列的Stieltjes moment性质。.3. Eulerian三角的全正性猜想。Brenti猜想Eulerian三角是全正的，我们将对Eulerian三角及Eulerian多项式三角的全正性问题进行研究，以期为解决这个猜想提供研究思路。

全正性理论是数学研究的重要工具，对全正性问题的研究是数学研究的前沿领域。本项目研究了满足不同类别递归关系的组合矩阵的全正性问题，取得了重要的进展。我们分别从行递归关系和列发生函数的角度针对Riordan矩阵的全正性给出了两种相互独立的判断方法。我们以Delannoy三角和Motzkin三角为例研究了矩阵的解析性质，包括矩阵的极限分布以及行发生函数的零点分布问题等。特别地，我们证明了Narayana数的渐近正态性，这解决了Shapiro提出的一个公开问题。我们还借助矩阵研究序列，利用格路计数给出序列对数凸性的组合解释，可以统一地处理许多经典组合序列对数凸性的组合学证明。这些研究成果丰富了组合矩阵全正性问题的研究内容，促进了其进一步发展。