组合学中γ-正性问题的研究

The gamma-positivity of polynomials is an important content in the positive problem of combinatorics. The objective of this project is to investigate the gamma-positivity of some combinatorial polynomials. The contents of the project is divided into three parts..1.The classic gamma-positivity of combinatorial polynomials. From the view of combinatorial structure, we will investigate the gamma-positivity of some combinatorial polynomials by the decomposition method of posets and the Foata-Strehl group action method. We make a special effort to investigate and study the conjecture of Guo and Zeng about the gamma-positivity of the descent polynomials on the set of involutions..2.The gamma-positivity of bivariate polynomials. We will give the general criteria of gamma-positivity of bivariate polynomials from the view of algebra firstly. Then we will study the gamma-positivity of the joint distribution of double statistics. And finally we will prove the gamma-positivity of the two-sided Eulerian polynomials combinatorially..3.The q-gamma-positivity of bivariate polynomials. We will investigate the q-gamma-positivity of the joint distribution of double statistics and the q-analog of gamma-positive polynomials. We also study the q-analog conjecture of Guo and Zeng.

多项式的γ-正性问题是组合数学正性问题中一类重要的研究内容。本项目研究组合多项式的一些γ-正性问题，研究内容围绕以下三个部分展开。.1.研究单变量组合多项式的经典γ-正性问题。从组合结构角度出发，应用偏序集分解法与Foata-Strehl群作用方法来研究一些组合多项式的γ-正性问题。着重研究Guo-Zeng关于对合排列集descent多项式γ-正性的猜想。.2.研究双变量多项式的γ-正性问题。从代数结构角度出发给出双变量多项式γ-正一般性判别法则。研究双统计量联合分布的γ-正性问题。组合证明双边Eulerian多项式是γ-正的。.3.研究双变量多项式的q-γ-正性问题。研究双统计量联合分布以及γ-正多项式q-模拟的q-γ-正性。探讨Guo-Zeng猜想的q-模拟猜想。

代数组合学中的许多主要公开问题都与正性问题相关，即证明某些整数的非负性。组合学中的γ-正性问题是正性问题中一类重要的研究内容，涉及的非负整数经常有着深刻的组合背景和直观的组合解释。.本项目主要研究组合多项式的γ-正性问题，研究内容围绕以下三个部分展开：1. 研究单变量组合多项式的经典γ-正性问题。从组合结构角度出发，应用偏序集分解法与群作用方法来研究一些组合多项式的γ-正性问题。2. 研究双变量组合多项式的γ-正性问题。从代数结构角度出发给出双变量多项式γ-正一般性判别法则，再应用组合方法研究一些双统计量联合分布的γ-正性问题。3. 研究双变量组合多项式的q-γ-正性问题。研究双统计量联合分布以及γ-正多项式q-模拟的q-γ-正性。.本项目主要研究结果：一方面从代数学角度出发，具有相同对称中心的双变量对称多项式构成线性空间，应用两组基之间的过渡矩阵，给出双变量多项式γ-正性以及q-γ-正性的一般性判别准则；另一方面应用群作用方法研究了一类新的加细Eulerian多项式（对称群上奇数位和偶数位descent统计量的联合分布）的γ-正性。这类新的加细Eulerian多项式是之前没有被发现和研究的，并且它是组合学中重要的Eulerian多项式的推广，具有较为深刻的学术研究背景和意义。另外，用组合群作用方法证明单变量组合多项式的γ-正性是公认的最优美的方法，并且不同的单变量组合多项式的γ-正性问题需要构造不同的群作用，需要较大的创造性，因而应用群作用方法验证双变量组合多项式的γ-正性难度更大。