全正性问题中的Schur正性理论

全正性是数学中非常重要的一个概念，它出现在概率论、统计学、力学、计算机科学、经济学等众多学科中。本项目主要研究序列上的某些非线性算子是否保持全正性，力争解决G. Boros和V. Moll关于二项式系数的无穷对数凸性猜想， R.P. Stanley和S. Fisk关于某些算子保持实根的猜想, 以及B.E. Sagan等关于某些算子保持全正性的猜想。P. Br?ndén利用分析学中的Grace-Walsh-Szego定理部分地解决了上述猜想。 利用M. Aissen, A. Edrei, I.J. Schoenberg和A. Whitney关于全正性序列生成函数刻画的基本定理，本项目将所研究的全正性问题转化为对称函数理论中的Schur正性问题，从而有望通过群表示论和李代数理论证明Schur正性，进而以统一地方式全部地解决上述关于全正性的猜想。

本项目研究了与序列的全正性和对称函数的正性问题有关的几个问题，并取得一些重要成果：.（1）.得到了坐标多项式的q-对数凸性与实根性；.（2）.解决了Lassalle关于Schur函数特殊化后取正值的猜想；.（3）.解决了Branden关于Boros-Moll多项式的两个实根性猜想，从而证明了Boros-Moll多项式的三阶对数凹性。.本项目尚未解决的问题包括Boros-Moll多项式的无穷对数凹性猜想、关于某些算子保持实根的Fisk猜想和关于某些算子保持全正性的McNamara- Sagan猜想。