一类非自治 Lorenz 型系统的动力学行为研究

We study nonautonomous differential equations, where the vector fields of the differential equations are dependent on both the time and spatial variables. This kind of systems can be used to investigate many phenomena in real world, and help us understand realistic problems. We plan to consider a class of (integer-order and fractional-order) nonautonomous Lorenz-type systems: . (i) the local (near the equilibrium points) and global dynamical behavior;. (ii) the mechanism of the strange dynamics, the possible routs to chaotic attractors or strange nonchaotic attractors;. (iii) the study of the effects of the bifurcation of the fractional-order to the dynamcal behavior.

本项目旨在讨论非自治微分方程系统，就是定义微分方程的向量场函数是依赖于时间和空间的。随着时间和空间变化的系统能更加真实反映现实中的许多现象，对理解实际问题提供更加精确的模型和更多帮助。主要研究一类非自治 Lorenz 型方程 (包含整数阶和分数阶)如下问题：. (i) 局部(平衡点附近)和全局动力学行为; . (ii) 揭示系统复杂动力学行为的产生机制，寻找混沌吸引子或者奇怪非混沌吸引子的存在条件；. (iii) 对于相应的分数阶系统，讨论系统分数阶的阶数变化对系统动力学行为的影响。

著名的 Lorenz 方程是混沌动力学研究中的重要模型之一。本项目主要对 Lorenz 方程进行深入研究以及对经典的 Lorenz 方程进行一些扩展讨论。(1) 在一类非自治 Lorenz 型方程中，找到了系统存在混沌或者奇怪非混沌吸引子，表明非自治系统在某些条件下比自治系统具有更加复杂的动力学行为。(2) 构造了平面上的一类非自治系统，该类系统具有经典 Lorenz 系统的蝴蝶型轨道，但是没有 Lorenz 系统所具有的对初值敏感依赖性 （不存在正的 Lyapunov 指数），该结果表明在经典 Lorenz 系统所展现出来的对初值敏感依赖性和蝴蝶型轨道应该是相互独立的。(3) 在复的 Lorenz 方程中得到最终有界几个新的估计，并发现一些有趣的动力学行为。(4) 研究离散连续系统，这是连续方程的简化模型，从经典的 Poincaré 截面上定义的返回映射导出的系统，我们发现新的动力学行为，比如双倍周期分岔现象，系统的不变测度的存在性是依赖于空间维数等。