Boltzmann方程及其耦合模型的扩散极限研究

The Boltzmann equation serves as the fundamental equation in kinetic theory and connects the atomistic and continuum models. This project aims at studying the diffusive limit of the Boltzmann equation and its coupled models. The key point is to study the influence of the boundary and uncertainty on diffusive limits. In this project, we mainly investigate two problems. One is about the Navier-Stokes limit of the Boltzmann equation with incoming boundary condition. The other is on the Navier-Stokes-Maxwell limit and Navier-Stokes-Poisson limit of the bipolar Vlasov-Maxwell-Boltzmann equation with uncertainty on the whole space. Except for relative entropy method, stochastic Galerkin method and Hilbert expansion, we also need to construct proper kinetic boundary layer and employ the properties of the hyperbolic equation in VMB system to explore and solve the problems during our research. This project will improve the theory of the Boltzmann equation.

Boltzmann方程是动理学方程中的重要模型，是联系粒子模型和连续力学模型的重要桥梁。本项目主要研究Boltzmann方程及其相关模型的扩散极限。本项目重点分析边界和不确定性对其扩散极限的影响。我们具体研究入射边值条件下Boltzmann方程的Navier-Stokes极限，以及全空间上随机初值双极Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程的Navier-Stokes-Maxwell和Navier-Stokes-Poisson极限。在借鉴已有的相对熵、统计Galerkin以及Hilbert渐进展开等技巧方法基础上，还需要构造合适的动理学边界层并结合VMB所耦合双曲方程组的性质以探索解决研究项目中的相关问题。本项目的研究可以完善该领域的数学理论。

本项目的研究背景基于等离子体和离子通道数学模型。本研究内容分为两个部分. 第一部分是刻画等离子体的模型粒子模型和连续力学模型之间的关系，也就是Boltzmann 方程及其耦合模型Vlasov-Poisson-Boltzmann方程和Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程的黏性流体极限问题； 第二部分为刻画离子通道的Poisson-Nernst-Planck-Fouier方程的解存在性和大时间性态分析。重要结果包括：1, 通过利用线性Boltzmann算子的hypocoercivity性质，在光滑解框架下，验证了Vlasov-Poisson-Boltzmann方程到Navier-Stokes-Poisson方程极限；另外还研究了不确定性初值(随机初值)的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程的Cauchy问题的小初值全局解存在性并验证了Navier-Stokes-Poisson流体极限问题；特别地在不依赖于Hilbert展开的情况下，我们得到了Vlasov-Poisson-Boltzmann方程解到Navier-Stokes-Poisson方程解的收敛速率；2. 通过利用线性Boltzmann算子的hypocoercivity性质和Maxwell方程的结构，在光滑解框架下，以较短的篇幅验证了Vlasov-Maxwell-Boltzmann(NSW)方程到Navier-Stokes, Navier-Stokes-Poisson, Navier-Stokes-Maxwell和MHD(磁流体方程)的流体极限问题；3, 研究了Poisson-Nernst-Planck-Fouier方程全空间上小初值全局解的存在性和解的衰减速度。本项目的研究结果完善该领域的数学理论。