Lorenz型与随机Lorenz型系统族的分岔与混沌

The Lorenz equation, which is the truncated model of the Navier-Stokes equation and the heat conduction equation is regarded as the touchstone for the modern chaos theory. This project will focus on two mainly contents. First, it is to be considered how does the Lorenz-type system families' limit sets (or invariant set) topology or qualitative structure change when their parameters are continuous varying. The research content includes: the singularity (including infinite singular point); periodic solution (closed orbit); the singularity and the orbit which the singularity tend to as t→+∞，t→-∞ (e.g., homoclinic orbit and heteroclinic orbit). Second, under the driving of different stochastic process, we discuss the problems include stochastic bifurcation, stochastic chaos, random attractor, domains of attraction and invariant measure. In this project, we will discuss the similarities and differences of chaotic attractor geometry structure and formation mechanism between deterministic Lorenz-type systems and stochastic Lorenz-type systems. Further, we will study the essential difference of the dynamic behavior between the stochastic differential equation and the deterministic differential equation. Then the new problems and phenomena of the differential dynamical systems driven by random factor will be analyzed. Through investigating these bifurcation and chaos phenomena deeply, we hope that some new results are obtained.

Lorenz方程作为Navier-Stokes方程与热传导方程的截断模型，是现代混沌理论研究的出发点和基石。本项目主要研究：1、分析Lorenz型系统族在参数连续变换时，所有极限集(或者不变集)的拓扑结构或者定性结构的改变，包括:奇点（包括无穷远奇点）;周期解(闭轨线);奇点与当t→+∞，t→-∞时趋于这些奇点的轨道（如，同宿轨和异宿轨)。2、在不同随机过程驱动下，研究随机Lorenz型系统的随机分岔、随机混沌、随机吸引子、随机吸引域、不变测度等分岔与混沌问题。比较Lorenz型与随机Lorenz型系统族所生成的混沌吸引子几何结构的差异和生成机理的异同，进而研究随机微分方程与确定性微分方程动力学行为的本质区别，研究随机因素给微分方程及微分动力系统带来的新问题和新现象。希冀通过对这些问题的研究，在微分动力系统和随机动力系统的分岔与混沌方面，得出一些新的结果。

项目围绕Lorenz型和随机Lorenz型系统族的解集性态开展研究工作。共发表论文31篇，其中SCI收录27篇，中文核心期刊3篇，授权专利5项。.研究了参数扰动下确定性系统（包括与Lorenz相关的系统和与原始Navier-Stokes相关系统）的极限集的拓扑结构或者定性结构的改变：（i）为了解读不同类型混沌系统局部分岔行为对全局混沌特性的影响，寻找周期轨和混沌之间的统计通讯，分析了不同类型系统，在不同受控环境和参数扰动下，系统的分岔行为，包括余维1和余维2退化 Hopf分岔以及分岔临界值的预测等；（ii）基于微分几何技术，提出从系统轨线的任意一点出发，分析系统的极限集结构，探讨混沌机理。该方法为对那些没有平衡点的混沌系统的数学理论研究提供了很好的技术途径;（iii）以与Navier-Stokes方程（混合型方程）密切相关的非线性耦合型偏微分方程（包含）为载体，运用现代偏微分方程理论和非线性泛函技术，研究了线性椭圆型和抛物型耦合系统的解集性质。.考虑系统在“白噪声”和“有色噪声”等不同噪声环境下解轨集，包括周期解、平稳分布、遍历性等性质，探讨了环境随机波动和反应延迟对系统全局结构的影响，分析了不同系统在不同随机过程驱动下，定性结构的改变以及分岔阈值副变化。.分别以Lorenz-Haken 和Lorenz-84系统为载体，在给出系统全局动力学行为一些新结果的基础上，分析了系统长时间随机渐近性行为，给出了系统在不同随机过程驱动下随机吸引集的估计式，并给出了系统存在随机吸引子的参数条件，分析了特定系统随机分岔现象；比较分析了在概周期驱动和随机干扰驱动下系统所生成吸引子的结构和分岔情况。.在项目执行期间，项目团队承办全国性学术会议6场，参加国内外学术交流30多场，邀请30多位专家人指导研究工作，培养硕士研究生10人毕业，2名项目组成员晋升高一级职称。