非线性椭圆型方程在均匀化理论中的定量估计

During the past ten years, quantitative estimates for linear elliptic homogenization problems have received a great of interests and results. However, there is few papers addressing nonlinear elliptic homogenization issues, especially lacking a systematic study on the approach of quantitative estimates. For this case, our project is devoted to investigating convergence rates and uniform regularity estimates for homogenization of nonlinear elliptic equations. Concretely speaking, we plan to set monotone operators as the subjects, including non-degenerate and degenerate cases, to obtain the regularity theory and error estimates, respectively. Here, how to measure the impact of degeneration of the equations on homogenization is the key point in the research. Meanwhile, how to develop an argument for deriving an error estimate, which never depends on a higher order regularity of the homogenized solution, would be the core issue in the whole project.

近十年以来，人们对线性椭圆均匀化理论的定量估计开展了系统而深入的研究。但有关非线性椭圆均匀化问题的研究成果却非常少见，特别是缺乏定量估计的理论方法。本项目计划对非线性椭圆型方程的均匀化问题开展收敛速率和一致正则性估计的研究，从而提高人们对于非线性方程均匀化问题的认识水平。具体的，本项目将以单调算子为研究模型（包括非退化和退化两种情形），建立相应的定量估计理论。其中，如何度量退化性对于均匀化化过程的影响将成为我们研究的重点，而如何建立一套不依赖于等效方程解的高阶正则性的收敛速率的估计方法将成为该项目的核心问题。

本项目对非线性椭圆均匀化定量估计问题开展了比较系统的研究。均匀化量化估计理论在过去的十多年发展十分迅速，产生了一系列新思想、新方法。特别是非周期均匀化理论的进展，引起了国际上众多应用数学家的广泛关注。本项目着眼于非线性椭圆模型开展研究。相对于线性问题，非线性问题的研究是具有挑战性的，这表现在下述两个在研究中遇到的困难：其一、我们注意到均匀化化过程无法保证非线性算子较为精细的结构性条件；其二、强非线性椭圆算子的矫正子关于参量的非线性依赖是Holder指标的，而且这个指标是本质的。. 受到第一个发现的启发，我们进而注意到，即使对于线性模型而言，多孔介质中的均匀化问题出现了类似的现象。于是，我们对多孔介质上的弹性力学方程、多孔介质上的流体方程（Darcy定律）开展了量化研究。取得了一些十分重要的进展，并发展了新的工具以及方法。.受到第二个发现的启发，我们关注到随机均匀化理论。因为，在随机分析中需要处理大量不可微的计算。我们主要学习和掌握了Felix Otto教授的随机均匀化理论，并结合申仲伟教授在周期均匀化理论中的贡献，开展了有界区域上annealed Calderon-Zygmund估计的研究，并将其结果应用于强模、弱模意义下收敛速率的研究。. 尽管，我们对强非线性算子均匀化现象的理解仍然不够充分，但通过相关方面的系统性的研究会为最后良好的理解打下良好的基础。另一方面，通过该项目的研究，我们对周期、非周期均匀化理论行程了比较系统的认识。将为下一步数值分析、算法设计所涉及的研究提供有力的理论基础。