偏微分方程的定性与定量均匀化理论及其应用

Partial differential equations in multi-scale environments arise often in the modeling of physical, social, probabilistic and geometric phenomena. The theory of qualitative homogenization aims at studying the self-averaging effect due to certain properties of the micro-scale variations of the environment and their interactions with PDEs, which leads to homogeneous effective models that characterize the large-scale behaviors of the originally complicated equations. Quantitative theory goes beyond homogenization and studies further the convergence rates, the probability distribution of the homogenization error, etc. The research topics in this proposal are based on the previous works of the PI and aim at advancing both the qualitative and the quantitative theories of homogenization. On the one hand, the PI will study the homogenization of Stokes system on random porous media, and study the effective large-scale behaviors of fronts propagating in random environments that have highly oscillations both in time and in space. These two settings are less studied and, hence, the project will enrich the qualitative theory. On the other hand, the PI proposes to study the dependence of the effective environment on the micro-scale oscillations of the original environment, to quantify the homogenization error and to describe its probability distribution, and to develop the applications of both the qualitative and quantitative theories in some inverse problems.

多尺度环境下的偏微分方程（它们或含有振荡系数，或设定在振荡区域上，或满足振荡的定解条件）在许多物理、社会科学、概率和几何现象的数学描述中经常出现。定性均匀化理论通过研究环境在微观尺度上的特殊结构以及它们与方程相互作用而形成的“自平均效应”，得到原复杂方程在宏观尺度上的均匀的等效行为。均匀化定量分析则进一步研究均匀化前后方程的解的差异随微观尺度趋于零的收敛速率、均匀化差异的概率分布等更深入的问题。本项目在已有工作的基础上，致力于进一步推进定性均匀化理论和对定量分析等更深入的问题的研究。一方面研究随机多孔介质上的Stokes方程组的均匀化，研究在时间和空间上均有多尺度振荡的环境下的描述锋面传播的哈密尔顿－雅可比方程的宏观等效；这是两种研究不太成熟的设定，是对定性理论的进一步发展。另一方面，深入研究介质微观结构如何影响等效环境，量化随机均匀化差异及其概率分布，推进均匀化理论在反问题中的应用。

多尺度复杂介质上的物理现象在自然科学、社会科学和工程应用中广泛存在。微观尺度上的不均匀性、不确定性给这类问题的数学建模，理论分析和数值计算模带来了很多困难，在理论和应用层面都具有很强的挑战性。均匀化理论从数学建模和理论分析入手，研究这类问题的的渐进行为，给出问题的解的宏观等效行为，刻画逼近误差，并尽可能的刻画宏观等效与原微观结构之间的联系，对多尺度复杂介质上的偏微分方程问题提供深入的具有应用价值的理论分析。..本项目从多孔介质外区域上的扩散方程，多孔介质上的线弹性问题和Stokes流体力学问题，哈密尔顿-雅可比方程的均匀化问题和逆均匀化问题，以及合成孔径雷达海冰监测数据的建模和分析等问题入手，深化了偏微分方程的定性与定量均匀化研究，提出了多孔介质外区域Dirichlet边值问题的定量均匀化理论的新方法，并且对新方法所依赖的位势理论进行了深入的研究，刻画了周期位势理论的映射性质以及周期趋于无穷时它与全空间位势理论的联系；对依赖状态函数的 Hamilton-Jacobi 方程，给出了一些适定性理论，对描述锋面传播的临界条件H-J方程，研究了逆均匀化问题，证明了一类凸多面体总可以作为等效哈密尔顿函数的等值面，并且给出了该情况下均匀化的最佳收敛速率；对海冰监测系统进行了深入的数学建模，将均匀化理论用于解释系统采集的数据所包含的信息。该项目的研究成果给偏微分方程均匀化理论提供了一些新的分析工具和分析方法，进一步开发了逆均匀化等研究方向，并且初步研究了均匀化理论在一些实际反问题中的应用。