基于边值问题的Riemann-Hilbert方法研究

Based on the extensive application of Riemann-Hilbert approach in many subjects, we will study Riemann-Hilbert approach on the positive real axis from the viewpoint of boundary value problem. Riemann-Hilbert approach for orthogonal polynomials has two basic parts: characterization and steepest descent analysis for orthogonal polynomials. Since the theory for characterization of orthogonal polynomials on the positive real axis is not perfect, this project will establish another boundary value problem for characterization of orthogonal polynomials on the positive real axis with given principal part, then construct the related asymptotic analysis, which form a whole Riemann-Hilbert framework on the positive real axis. The research will not only promote the development of Riemann-Hilbert approach, but has separate significance for boundary value problem.

基于Riemann-Hilbert方法在众多学科和领域中的广泛应用，本项目拟从边值问题角度出发，研究正实轴上正交多项式的Riemann-Hilbert方法。Riemann-Hilbert 技术的正交多项式渐近分析有两个基本构件：正交多项式特征刻划边值问题和相应的最速下降分析。目前在正实轴上关于Riemann-Hilbert特征刻划的理论并不完善。该项目拟利用主部给定边值问题建立正实轴上正交多项式另一种特征刻划边值问题的严格理论，并构建相应的渐近分析，形成正实轴上Riemann-Hilbert技术整体的框架模型。本项目研究内容将促进Riemann-Hilbert渐近技术的完善发展，在边值问题研究中也具有独立的意义。

本项目主要从边值问题的角度出发，研究Riemann-Hilbert 方法及相关边值问题。主要的工作有：1）通过引入正实轴上无穷远点及原点处主部及阶合理的定义，构建了正实轴上Riemann-Hilbert边值问题的框架模型；2）建立以正实轴为跳跃曲线下三角矩阵的矩阵值函数边值问题，从而构建出正实轴上包含常见正交多项式在内的特征刻划Riemann-Hilbert问题模型；3）研究了与Riemann-Hilbert问题相关复方程的边值问题理论。本项目研究内容促进了Riemann-Hilbert方法的完善发展，为其他类似无穷曲线上Riemann-Hilbert方法的研究提供新的思路，同时也拓展了边值问题模型的发展，在边值问题研究中具有独立的意义。