Riemann-Hilbert 方法与 Hankel 行列式的渐近研究

Random matrix theory has a great many applications in physics. Asymptotic expansions of the Hankel determinant, with a lot of researchers' attentions, are connected with plenty of problems in random matrix theory. Riemann-Hilbert approach is a powful method to obtain the asymptotic expansions of the Hankel determinant. Recently, Riemann- Hilbert approach has been made lots of developments.The proposer has considered the uniform asymptotic expansions of several classes of orthogonal polynomials, and asymptotic expansion of a class of Hankel determinant. In this project, we aim to investigate the asymptotic expansions of the Hankel determinant and the recurrence coefficients, related to the non-Szegö class weight with a jump and the weight with coalescing critical points. This research has important theoretical significance to the deep development of the Riemann-Hilbert approach.

随机矩阵在物理学中有着广泛的应用。Hankel行列式的渐近展开与随机矩阵中的许多问题相关，并且受到很多研究者的关注。Riemann-Hilbert方法是研究Hankel行列式渐近展开的有效途径。近年来，Riemann-Hilbert方法得到国内外学者的大量发展。申请人已经通过Riemann-Hilbert方法，研究了几类正交多项式的一致渐近展开以及一类Hankel行列式的渐近展开。本项目以具有跳跃奇点的非Szegö类权函数以及具有多个奇点重合的权函数为背景，通过Riemann-Hilbert方法研究Hankel行列式的渐近展开及差分方程系数的渐近展开。本项目的研究对Riemann-Hilbert方法的深入发展有着重要的理论意义。

随机矩阵在很多方面有着重要的应用，Hankel行列式与随机矩阵中的一些问题相关。Riemann-Hilbert方法是研究正交多项式的渐近展开以及Hankel行列式的渐近展开的有效方法，并且Riemann-Hilbert方法得到很多的发展。通过Riemann-Hilbert方法研究具有奇点的权函数是一类重要的问题，出发点是基于权函数满足的Riemann-Hilbert问题，难点是在特殊点处寻找合适的特殊函数构造局部解。本项目主要考虑了通过Riemann-Hilbert方法研究一类具有两个跳跃奇点的权函数的相关问题，并得到一些结果。这些结果是Hankel行列式的对数关于两个跳跃奇点的偏导数之和可用耦合Painlevé IV方程组的解表示、正交多项式的差分方程系数与正交多项式的首项系数以及首一正交多项式在跳跃奇点处的值可用耦合Painlevé IV方程组的解表示、Hankel行列式的渐近展开可用耦合Painlevé II方程组的解表示、耦合Painlevé IV方程组的解的渐近展开可用耦合Painlevé II方程组的解表示、正交多项式的差分方程系数与正交多项式的首项系数以及首一正交多项式在跳跃奇点处的值的渐近展开可用耦合Painlevé II方程组的解表示。