Riemann-Hilbert 问题的穿衣方法在初边值问题中的应用

The project will focus on the deformation of the classic integrable equation (discrete and continuous) corresponding spectrum problems, the corresponding integable variable coefficient nonlinear evolution equations and their Lax pairs are obtained by using Riemann-Hilbert problem dressing method. The explicit solutions of the derived equations are obtained with the help of Zakharov-Shabat theory and Gelfand-Marchenko equation. The matrix Riemann-Hilbert problem on complex surface is constructed with the aid of algebraic-geometry method and generalized Fourier tranformation and Green function on Riemann surface. The spectral problem analysis and the evolution of the fourier data are discussed, further,the properties and structure of the solutions in initial -boundary value conditions are elaborated. The purpose of the project reveals the relations between the integrable variable coefficient equations and classic integrable constant coefficient equations,and provides the theoretical basis for applications in practical problem on integrable variable coefficient equations. At the same time, it enriches the dressing method and Riemann-Hilbert problem.

本项目将围绕变形的经典可积方程（离散和连续）对应的谱问题进行研究， 利用Riemann-Hilbert穿衣方法，可以得到相应可积变系数非线性演化方程，同时得到此方程的Lax对。借助Zakharov-Shabat理论和Gelfand-Levitan-Marchenko方程，得到这些方程的显示解。利用代数-几何方法和广义傅里叶变换和Riemann面上的Green函数，构造复平面上的矩阵Riemann-Hilbert问题，讨论谱问题的解析性和傅里叶数据演化，进而分析所得的方程在初边值情形下解的性质和结构。 本项目的研究揭示了可积变系数方程和经典可积常系数方程之间的关系，为带有初边值的可积变系数方程在实际问题中的应用提供了理论依据，同时也丰富了穿衣方法和Riemann-Hilbert问题。

在实际的科学与工程中，变系数非线性演化方程相对于常系数演化方程来说，更能有效地描述实际物理过程，特别是带有初值和边值的物理方程。本项目主要研究内容如下：借助双线性形式和Riemann-Theta函数方法讨论了二维Toda格的周期解，包括单周期解和二孤子解，并借助matlab画出解曲线；利用广义穿衣方法讨论了可积变系数柱状非线性Schrodinger方程，给出了单孤子解和二孤子解；利用有限差分方法讨论二阶椭圆方程Dirichlet问题，并讨论网格取不同情况下的图形；利用穿衣方法在局部Riemann-Hilbert问题上的应用讨论了耦合mKdV方程并给出解；利用Darboux变换方法，研究非线性非色散Schrodinger方程；借助Darboux变换方法讨论了变形耦合Burgers方程，并利用matlab画出解曲线。