基于调和算子的高阶复方程边值问题研究

Since extensive applications of boundary value problems on physics and engineering, this project will investigate some boundary value problems for high order equation based on harmonic operator. Firstly, Dirichlet and Neumann problems for harmonic function on sector ring are discussed by complex analytic methods. Then, by constructing proper polyharmonic Poisson kernel and Neumann kernel, Dirichlet and Neumann problems for high order Poisson equation are established through some high-order integral fomulas. Finally, based on operator theory, we investigate Dirichlet and Neumann problems for generalized n-Poisson equation, giving the existence and norm estimates for the solution. The research will obtain some methods of studying high order boundary value problelms on domain with corner points, and improve the development of boundary value problems for complex differential equations and singular integral equations. In a word, the.research has an important significance both in theory and application.

基于边值问题在物理工程上的广泛应用，本课题拟研究调和算子诱导的高阶复方程边值问题。主要内容包括：(1)利用复分析方法建立扇环域上调和函数的Dirichlet问题和Neumann问题理论；(2)构造高阶Poisson核函数和Neumann核函数，建立相应的高阶积分表示公式，进一步给出高阶Poisson方程的Dirichlet问题及Neumann问题详细解理论；(3)利用算子理论等调和分析方法构建广义高阶Poisson方程Dirichlet问题和Neumann问题求解理论，给出解的唯一性理论及范数估计。本课题将会形成带角点区域上高阶复方程边值问题研究的技巧方法，同时促进边值问题和奇异积分方程的丰富发展，是一项既有理论价值又有应用前景的研究课题。

基于边值问题在数学物理上的广泛应用，本项目主要研究高阶微分方程的若干边值问题理论。利用复分析方法及算子理论等，重点研究了高阶多解析方程及广义高阶多解析方程的Schwarz边值问题、双周期高阶多解析方程的Riemann边值问题、一类多项式型高阶微分方程乘法双准周期的Riemann边值问题以及高阶调和方程的Dirichlet 及Neumann问题等。主要内容涉及到核函数的构造、Cauchy-Pompeiu公式、高阶奇异积分算子性质研究、高阶多解析方程解及一类多项式型高阶微分方程解的刻画理论、零点阶的转化理论、边值问题与奇异积分方程理论、Schwarz问题及Riemann问题理论、Dirichlet问题及Neumann问题理论等。本项目研究成果形成了高阶边值问题研究中一些新的技巧方法，一定程度上丰富和完善了高阶复方程边值问题及奇异积分方程的发展理论。