基于Riemann-Hilbert方法的相关问题研究

Riemann-Hilbert方法是由Fokas,Its和Kitaev所发现正交多项式的Riemann-Hilbert问题刻划与Deift和Zhou的非交换最速下降法相结合而产生，此方法开创了研究正交多项式渐近性质的新途径。随机矩阵特征值的分布规律通常可以用正交多项式的一致渐近来刻划。研究内容一：借鉴M. Berry 和C. Howls关于积分Stokes现象的想法，并且结合Riemann-Hilbert方法探讨Szego类带奇异权正交多项式系的渐近性质。研究内容二：利用所考虑奇异权正交多项式的一致渐近结果，进一步分析其相应随机矩阵模型特征值的分布规律，重点考虑特征值关联函数的普适性问题。奇异权正交多项式的一致渐近研究相当困难，但研究这类正交多项式无论对 Riemann-Hilbert方法自身的发展，还是对认识正交多项式和随机矩阵的渐近行为都具有重要意义。