Riemann-Hilbert方法及若干相关问题的研究

Riemann-Hilbert method is an effective tool in the study of some important current asymptotic problems. Deepening studies of Riemann-Hilbert method in orthogonal polynomials, special functions, random matrix theory and other areas have increasingly become an important current topic in applied analysis..This study intends to consider the following questions：(i)Combining the Riemann-Hilbert method and thoughts of M. Berry - C. Howls, we investigate the uniform asymptotic of the non-Szego class generalized Pollaczek orthogonal polynomials, the support of whose weight function is composed of infinite discrete points and a continuous interval.(ii) Starting from differential equation of hypergeometric functions, we first lead to the asymptotic curve of zeros of hypergeometric functions by using potential theoretical methods, then obtain uniform asymptotic and asymptotic zero distribution of hypergeometric functions by combing Riemann-Hilbert method. We will focus on the asymptotic properties and precise distribution of zeros of Gauss hypergeometric functions. .The present research is very useful not only in the self-development of Riemann-Hilbert method but also in deepening the cognition of asymptotic properties of hypergeometric functions,especially the asymptotic distribution of the zeros.

Riemann-Hilbert方法对研究当前许多重要的渐近性问题非常有效。该方法在正交多项式、特殊函数、随机矩阵论等领域内的深化研究已日渐成为目前应用分析的一个重要前沿课题。.本项研究拟考虑以下问题：(i) 融合Riemann-Hilbert方法与M. Berry - C. Howls的想法，探讨权函数的支集由无穷个离散点与一连续区间所构成的非Szego类广义Pollaczek正交多项式在全复平面内的一致渐近。(ii) 从超几何函数的微分方程入手，先借助于位势理论方法求出其零点的渐近分布曲线，再结合Riemann-Hilbert方法，探讨超几何函数在全复平面内的一致渐近及其渐近零点分布，着重考虑Gauss超几何函数的渐近性质及其零点的精确分布。.本课题的提出和解决，不仅有助于Riemann-Hilbert方法自身的发展，而且有助于深化认识超几何函数的渐近性质，尤其是零点的渐近分布问题。

Riemann-Hibert方法及其相关方法在正交多项式、特殊函数、随机矩阵、偏微分方程解的渐近研究等领域的应用已日渐成为相当热门的重要前沿课题。. 研究内容一：借鉴M. Berry 和C. Howls关于积分Stokes现象的想法，并且结合Riemann-Hibert方法探讨探讨权函数的支集由无穷个离散点与一连续区间所构成的非Szego类正交多项式系在全复平面内的一致渐近性质。研究内容二：从超几何函数所满足的微分方程入手，再结合Riemann-Hilbert方法的思想，探讨广义超几何函数在全复平面内的一致渐近展开及其零点的渐近分布，此外，融合Riemann-Hilbert方法的思想和Ritz-Galerkin方法探讨了一类偏微分方程解的逼近。. 相应的结果：应用Riemann-Hilbert方法导出了Tricomi-Carlitz多项式和Meixner-pollaczek正交多项式及其零点的相关渐近性质。应用Riemann-Hilbert方法的思想和最速下降的方法得到了一类广义超几何函数的零点渐近展开。应用Riemann-Hilbert方法的思想和Ritz-Galerkin方法探讨了源于DCIS模型的偏微分方程正问题、正-反问题以及non-local问题的逼近解。.本课题的提出和解决，不仅有助于Riemann-Hilbert方法自身的发展，而且有助于深化认识广义超几何函数的渐近性质，尤其是其零点的渐近分布问题，同时也进一步拓展了Riemann-Hilbert方法在偏微分方程解的逼近问题中的应用。