凯勒几何中的广义Yau-Tian-Donaldson猜想

The existence of canonical metrics on Kahler manifolds is a fundamental problem in complex geometry. The famous Yau-Tian-Donaldson conjecture says the existence of a metric with constant scalar curvature on a compact Kahler manifold is equivalent to stability of the underlying manifold in certain sense of geometric invariant theory. This project concerns mainly on more general canonical metrics, including Kahler-Ricci solitons and general Calabi's extremal metrics. The main ingredient contains two aspects, K-stabilities and the existence of canonical metrics. The study on Kahler-Ricci solitons will focus on modified K-stability and modified K-energy, while the study on extremal metrics will focus on toric manifolds. The project contains deep knowledge on algebraic geometry and fully nonlinear partial differential equations. We will investigate the above problems, based on our recent progress.

Kahler流形上典则度量的存在性是复几何研究的一个基本问题。有关该问题有著名的Yau-Tian-Donaldson猜想，即紧Kahler流形上常数量曲率度量的存在性等价于流形在几何不变量意义下的稳定性。本项目将研究更广义的典则度量，包括Kahler-Ricci孤立子和一般的Calabi极值度量。研究内容涉及两个方面，即K-稳定性方面和典则度量的存在性方面。其中，关于Kahler-Ricci孤立子的研究主要讨论修正K-稳定性和修正K-能量；极值度量的研究将主要集中在环流形上。本项目的研究涉及深刻的代数几何和完全非线性偏微分方程知识。我们近期对这两个方面的研究都已经有一些重要的进展，将在此基础上做更深入的研究。

本项目涉及复几何中的关于典则度量和流形几何稳定性的基本问题。我们主要研究包括Kahler-Ricci孤立子、Mabuchi度量、极值度量在内的典则度量，以及相关的Monge-Ampere型方程。在典则度量和稳定性研究方面，我们得到了复约化李群紧化空间上各种典则度量存在性和各种能量泛函的关系。对于环流形的相对K稳定性和Chow稳定性，我们也做了约化并确定了很多3维Fano环流形的稳定性。在Monge-Ampere型方程的研究方面，我们从方程的角度建立了复Monge-Ampere方程的几何不等式和Di Giorgi-Nash-Moser迭代理论，还通过研究Green函数得到了带锥型奇点的Monge-Ampere型Shaulder估计得一个新证明。此外，我们还证明了Berman关于Hermittian流形上多重次调和包络函数的最优正则性和。