凯勒芬斯勒流形的若干问题

Kähler-Finsler manifold plays a fundamental role in complex Finsler geometry, which is an analogue of Kähler manifold in Hermitian geometry. This project mainly focuses on three widely concerned and important problems in Kähler-Finsler manifolds: (1) finding an effective approach for constructing Kähler-Finsler metrics and weakly Kähler-Finsler metrics; (2) investigating the properties of holomorphic curvature of complex Finsler metrics, providing examples of complex Finsler metrics which are of nonzero constant holomorphic curvature, under some special conditions attempting to give the classification of Kähler-Finsler manifolds which are of constant holomorphic curvature; (3) revealing the relationship between Kähler-Finsler metrics and complex Berwald metrics.

凯勒芬斯勒流形在复芬斯勒几何中具有基本的重要性，它是 Hermite 几何中凯勒流形在复芬斯勒几何情形的对应。本项目主要研究凯勒芬斯勒流形中被广泛关注的三个重要问题：（1）给出有效的方法以构造凯勒芬斯勒度量和弱凯勒芬斯勒度量；（2）研究复芬斯勒度量的全纯曲率性质，给出全纯曲率为非零常数的度量例子，在特殊条件下尝试给出凯勒芬斯勒流形具有常数全纯曲率的分类；（3）研究凯勒芬斯勒度量与复 Berwald 度量的关系。

复芬斯勒几何是多复变函数论和复微分几何的交叉学科，它是已故著名数学家陈省身晚年积极倡导的研究课题。微分几何研究的三大核心内容是联络、度量和曲率。本项目主要是围绕特殊复芬斯勒度量的构造和复芬斯勒度量的全纯曲率展开的。具体研究了以下五个方面的内容：（i）研究了酉不变复芬斯勒度量的变形度量，由此给出大量的复 Berwald 度量的例子，这些度量既不是厄米特度量，也不是来自复闵可夫斯基度量的共形变换；（ii）进一步研究了酉不变的复芬斯勒度量，给出了该类度量强凸性的刻画，证明了一强凸的酉不变的复芬斯勒度量是实的 Berwald 度量当且仅当它是酉不变的厄米特度量，给出了酉不变的弱的复 Berwald 度量全纯曲率恒为零的刻画，同时研究了酉不变的复芬斯勒度量的全纯曲率和测地线；（iii）研究了强凸的复芬斯勒度量的摄影平坦性和对偶平坦性；（iv）研究了乘积复芬斯勒流形，用张量分析的方法证明了积方法构造特殊复芬斯勒度量的两个刚性结果；（v）研究了广义的复(α,β)度量，给出了该类度量强凸的充分必要条件。