环流形上的Calabi极值度量

Kahler流形上典则度量的存在性是复几何研究的一个基本问题。有关该问题有著名的Yau-Tian-Donaldson猜想，即紧Kahler流形上极值度量的存在性等价于流形在几何不变量意义下的稳定性。本项目将主要围绕环流形上一般的Calabi极值度量的存在性问题进行。我们的研究还是涉及两个方面，即K-稳定性方面和极值度量的存在性方面。Donaldson对该问题有一个约化。其中，K-稳定性可以约化为一个凸多面体上的实线性泛函的正定性；而存在性则可约化为一个完全非线性偏微分方程问题。由于知道该方程的能量泛函即K-能量，我们计划用Trudinger-Wang在研究仿射Plateau问题时采用的变分方法来研究解的存在性。我们近期对这两个方面的研究都已经有一些重要的进展，我们将在此基础上做更深入的研究。

本项目主要围绕Kahler流形上典型度量存在性，尤其是环流形上的Calabi极值度量等，并研究相关的流形几何不变量意义下的稳定稳定性、对应的完全非线性偏微分方程等问题。我们首先对Abreu方程各类问题，包括边值问题、整体解分类、障碍型问题等做了深入研究。其中，最关键的是对方程正则性理论的讨论。在此基础上，我们又用Trudinger-Wang在解决仿射 Plateau 问题中的变分方法，得到了环曲面上极值度量弱解的存在性，内部光滑性和唯一性。边界正则性仍然是个困难的问题，有待进一步研究。项目的另一个重要成果是通过使用Riemann-Roch理论研究修正Futaki不变量和修正K稳定性，提出了关于Kahler-Ricci孤立子存在性的广义丘成桐-田刚-Donaldson猜想。此外，我们还对非线性方程的位势理论做了多方面的研究，包括复Hessian方程、Weingarten曲率方程等。