秩度量码和子空间码的构造、译码及在网络编码中的应用

As an important part in algebraic coding theory, rank-metric codes and subspace codes find significant applications in network coded secure and reliable transmission. Currently, the development in this direction is far from mature, and many problems remain to be explored. This project plans to conduct a theoretical and applied research for the two different but closely related classes of algebraic codes, in terms of construction, decoding, and application for network coding. The main research contents include: construction method of cyclic subspace codes; interpolation-based decoding algorithms for two important subclasses (Gabidulin codes and KK codes); construction and decoding of subspace codes based on convolutional rank-metric codes; network coded transmission method based on concatenating rank-metric codes and subspace codes. The innovation points lie in: different from the available computer search-based method for cyclic subspace codes, propose a systematic construction based on algebra; proposed a unified description of Koetter interpolation algorithm, and design new Lee–O'Sullivan interpolation algorithm; different from subspace codes based on block rank-metric codes, propose subspace codes based on convolutional rank-metric codes; establish the random network coded secure and reliable transmission mechanism based on code concatenation. It is expected that the project will enrich the theory of rank-metric codes and subspace codes, and promote the application of random network coding.

秩度量码和子空间码是代数编码理论的重要组成部分，在网络编码的安全与可靠传输方面有重要应用。目前，这一方向的发展还远未成熟，有很多问题有待深入研究。本项目拟针对这两类不同但又关系密切的代数码，从构造、译码、网络编码应用等方面进行理论及应用研究。主要研究内容：循环子空间码的构造；两个重要子类（Gabidulin码和KK码）的插值译码算法；基于卷积秩度量码的子空间码构造及译码；基于秩度量码和子空间码级联的网络编码传输方法。创新点：不同于现有计算机搜索方法，提出循环子空间码的代数构造方法；给出Koetter插值算法的统一描述，设计新型Lee–O’Sullivan插值算法；不同于传统的基于分组秩度量码的子空间码，提出基于卷积秩度量码的子空间码；利用码级联思想，建立随机网络编码的安全与可靠传输机制。预期通过本项目的研究，丰富秩度量码和子空间码理论，推动随机网络编码的应用。

项目背景：网络编码作为近年来信息传输领域的一项革命性技术受到广泛关注和深入研究，这种新型通信体制提出的初衷是为了提高网络信息传输的有效性。然而，在带来有效性的同时，网络编码对信息传输的安全性和可靠性提出了新的挑战。在这种背景下，安全网络编码和网络纠错码应运而生，对网络编码的发展起到了至关重要的推动作用。秩度量码和子空间码为网络编码的安全与可靠传输提供了重要的理论支撑，在一定程度上推动网络编码的实际应用。.主要研究内容：循环子空间码的构造；两个重要子类（Gabidulin码和KK码）的插值译码算法；基于卷积秩度量码的子空间码构造及译码；基于秩度量码和子空间码级联的网络编码传输方法。. 重要结果：（1）提出了基于ADMM的一种译码算法，使用查找表可显著简化译码复杂度。（2）设计了一种高效的网络编码方法（BATS码），讨论了该码在空间通信中的应用前景。（3）构造了超平面码，分析了这类码最小距离，给出了一种基于大数逻辑的译码方法。（4）提出了BM译码算法的一种简单实现结构，译码复杂度显著降低。（5）给出了Markov随机场的信息理论刻画，对多播网络编码的容量限分析具有重要的指导意义。. 关键数据：已发表论文６篇，包括１篇国内期刊，２篇国际期刊，３篇国际会议。另有一篇国际期刊论文在投中。. 科学意义：对秩度量码和子空间码的研究，一方面可以深化和推广网络编码的实际应用，另一方面它们作为代数码，其本身作为数学对象具有非常重要的研究价值。此外，这类码的译码与RS码的插值译码算法具有很强的联系，借此可以给出这些码译码算法的统一刻画。