数论方法在线性码的构造、译码以及有效实现中的应用

In digital communications，the key problem is to ensure the safety，reliability and effectiveness for data transmissions. This involves a lots of study in coding theory，computational complexity，effective implementations，cryptography and information security fields. Basing on the methods and techniques in number theory (especially Weil Conjecture，exponential sums)，algebraic curves theory over finite fields，in this project we mainly concentrate on the study of the following problems in digital communications. (1) In decoding theory，to determine more deep holes of (generalized)Reed-Solomon codes，design good decoding algorithm based on deep holes；And give decoding algorithm for self-orthogonal(self-dual) cyclic codes over finite fields. (2) In constructions and effective implementations，to construct a class of good linear codes and bases with linear complexities over finite fields，to study their multiplicative structures and analysis their cryptography properties.

数字通信中非常重要的问题是：信息的安全性和可靠性，以及信息传输的有效性。需要解决的核心问题是：纠错码理论、计算复杂性、有效实现性、密码学和信息安全等方面的科学问题。本项目拟利用有限域上Weil估计、指数和等数论工具以及有限域上代数曲线的算术理论，研究数字通信中如下两个方面的问题：(1) 确定(广义)Reed-Solomon(RS)码的更多深洞和设计基于深洞的译码算法；设计有限域上自正交(对偶)循环码的译码算法；(2) 具体构造出一批好的线性码和有限域上具有线性复杂度的基，研究其代数结构并分析其密码学性能。

数字通信中非常重要的问题是信息传输的可靠性和真实性以及有效性，为此需要解决的核心问题是：纠错码理论、计算复杂性、有效实现、密码以及信息安全等方面的科学问题。本项目利用数论的方法和技巧，我们主要研究了数字通信中如下几个方面的问题：解决关于Samarandache函数的准确计算公式这一公开问题；完全确定有限域上几类高斯正规基及其对偶基乘法表和复杂度，以及给定设计距离的BCH根码及其对偶码的周期分布；定义广义零差分平衡函数，并构造出几类这样的函数，由此得到几类新的常组成码、差分系统以及跳频序列；构造最优常维数码以及LDPC码；给出任何特征有限域上几类本原元以及本原正规元存在的充分条件；改进密码体制中经典的Hill加密算法，由此得到更优的加密方案设计。