Camassa-Holm 类方程（组）孤立子解的轨道稳定性

Camassa-Holm (CH) equation is an important model for waves in shallow waters which has attracted much attention because of its remarkable properties. This project aims to establish the orbital stability of peaked and smooth solitary wave solutions for the CH type equations (systems). Firstly, using Constantin-Strauss's direct method and Lenells's direct approach, stability of peakons and periodic peakons to two types of generalized CH equatons with higher nonlinear terms are considered, respectively. It is shown that they are orbitally stability under small perturbations in the energy space. Secondly, extend Grillakis-Shatah-Strauss' general approach to the multi-component CH type systems, by establishing some precise analysis on the spectrum of a linearized operator around the solitary waves for the considered system, we try to establish the orbital stability for their smooth solitary wave solutions.. Most of the models in the project have applications in geometry, physics and other fields, so the studying results for them may provide references for describing some physical phenomena and also lay the foundation for the further related study in future.

Camassa-Holm (CH) 方程是浅水波领域的一个重要模型，因其显著性质而成为数学物理界广泛关注的热点问题之一。本项目主要研究 CH 类方程（组）的尖峰孤子解和光滑孤子解的轨道稳定性，进一步丰富浅水波模型的定性理论。首先，基于 Constantin-Strauss 的直接方法和 Lenells 的直接方法，分别讨论两类含高阶非线性项的广义 CH 方程的尖峰孤子解和周期尖峰孤子解的稳定性，证明在能量空间的小扰动下这些孤子解轨道稳定。其次，将 Grillakis-Shatah-Strauss 证明孤子解稳定性的一般方法推广到多分量 CH 类方程组，通过详细分析孤子解附近线性化算子的谱问题，阐明某些多分量 CH 类方程组光滑孤子解的轨道稳定性。. 本项目中的大多数模型在几何，物理等领域都有应用，研究成果将对解释某些物理现象提供参考，为今后相关领域的研究奠定基础。

本项目的主要工作是围绕与Camassa-Holm（CH）方程有关的在几何, 物理等领域有应用背景的一些方程和系统展开的。首先，讨论了旋转流中受科里奥利力作用影响的一个新型的修正的两分支CH系统的周期柯西问题，得到了强解的爆破准则和爆破的充分条件。另外, 对于强解的整体存在性也进行了讨论，得到了强解存在的一个充分条件。其次，研究了可积的带色散项的Hunter-Saxton方程周期初值问题强解的爆破现象。采用的分析方法不依赖方程本身的可积性，同时也强调非线性演化方程的可积性不阻碍有限时间发生爆破。再次，利用分数阶的Strichartz估计及分数次Sobloev空间中的波形分解给出了分数阶非齐次半线Schrödinger方程解的整体存在性和在有限时刻爆破的充分条件，以及质量临界情形下解的动力学行为及质量集中现象。最后，讨论了有界区域上一类分数阶椭圆型方程解的先验估计和渐进行为。研究成果对解释某些物理现象提供参考，为今后相关领域的研究奠定基础。