低秩矩阵恢复的非凸松弛模型的理论与数值求解方法

Low-rank matrix recovery (LMR) is a quickly developing research area with a growing list of applications such as collaborative filtering, machine learning, control, remote sensing, and computer vision. The key point of low-rank matrix recovery is how to solve a non-convex and non-smoothing optimization problem quickly and efficiently. The project will focus on the non-convex relaxation model Mp which takes p-norm (0<p<1) of a matrix instead of the rank, and do further research on low-rank matrix recovery from the aspects of theory, algorithms and applications. First, we will explore the fast efficient algorithms for the Mp model, especially the data with large scale. Second, we want to establish and improve the exact recovery conditions corresponding to the Mp model (including the RIP conditions and S-Goodness property), discuss the relationship between these two, and compare the Mp model with the previous convex model from both the theory and the algorithms. Third, we will try to design the new model and rebuild the specific algorithm according to the special characteristics of the practical problems, particularly applied to image processing. The research of the project will propose some rapid and efficient algorithms to the matrix recovery of large scale data; it will provide new ideas for the non-convex optimization problems.

低秩矩阵恢复（LMR）作为一个快速发展的研究领域，在协同过滤、机器学习、控制、遥感和计算机视觉等方面都具有很重要的应用。低秩矩阵恢复的核心环节是如何快速、有效地求解一个非凸非光滑的优化问题。本项目将考察秩函数用p范数（0<p<1）逼近的非凸松弛模型Mp，具体从三个方面研究：第一是针对模型Mp发掘高效的数值求解方法，着重考虑大规模数据的有效求解问题。第二是建立和改进与模型Mp相应的精确恢复条件（包括RIP条件及S-goodness性质)，探讨两类恢复条件之间的联系，并从理论研究和数值计算两个角度去比较模型Mp与核范数凸松弛模型的优劣；第三是根据实际问题的特性探索如何将所获的研究成果有效地应用于实际问题，具体将应用到图像处理中考虑特殊矩阵的恢复问题。项目研究将为矩阵重建技术在大规模数据的计算应用上提供快速有效的方法，为其实用化奠定理论和算法基础；同时，也将为非凸优化问题的研究提供新思路。

低秩矩阵恢复是一个快速发展的研究领域，相关联的研究问题有很多。低秩矩阵恢复的核心环节是如何快速、有效地求解一个非凸非光滑的优化问题。本项目考察了非凸松弛模型的理论、算法及其延伸应用。具体从三个方面进行了研究：.一是建立和改进与非凸模型相应的精确恢复条件，探讨了精确恢复条件之间的联系，并从理论研究角度比较了非凸模型与核范数凸松弛模型的优劣。作为低秩矩阵恢复问题研究的一个自然扩展和延伸，研究了基于张量的N-秩概念建立的低秩张量恢复问题的三类精确恢复条件及误差界。二是研究了两类有效的数值求解方法，且算法具有快速收敛性。三是将前面的研究经验和成果延伸应用到一些相关稀疏优化问题上，利用前两项研究工作的研究思想方法和手段，对低秩张量恢复问题、绝对值方程的稀疏解问题，相位恢复问题的稀疏解问题进行了理论和算法方面的研究。