具有尖峰孤立子解的两类Camassa-Holm 型方程的解的性质研究

In this project we will study several problems of two types of generalized Camassa-Holm equations. The equations of this project is the extension of the Camassa-Holm equation from the shallow wave theory，and the two equations are important integrable systems which have peakon soliton. Integrable system is an important branch of nonlinear mathematical physics ,which have a history of hundreds of years .The main research contents in this project：.1. using the special form of the equation to prove the global existence of strong solution; .2.using the properties of ordinary differential on Bananch space to prove the existence and uniqueness of the global conservation solution; .3. using the generalized Cauchy-Kowalevsky theorem to prove the Gevrey regularity of smooth solutions;.4. using the method of Constantin and Strauss to prove the orbital stability of soliton; .The study on the well-posedness, stability and regularity of the generalized Camassa-Holm equations with peaked soliton is an important problem in the study on nonlinear water wave theory. It has important application and theoretical significance. The study on these problems will help us to deeply understand and describe the theory of soliton and shallow water from a mathematical view.

本项目主要对两类广义的Camassa-Holm方程的若干问题进行研究。本项目研究的方程是来源于浅水波理论中的Camassa-Holm方程的推广形式，且这两个方程是具有尖峰孤立子解的重要的可积系统。可积系统是非线性数学物理中的一个重要分支，已经有上百年的研究历史。.本项目主要研究内容：.1.利用方程的特殊形式证明系统强解的整体存在性；.2.利用Bananch空间上的常微分性质证明整体守恒弱解的存在性和唯一性；.3.利用推广的Cauchy-Kowalevsky定理证明光滑解的Gevrey正则性；.4.借助Constantin和Strauss的方法证明孤立子的轨道稳定性；.具有尖峰孤立子的广义 Camassa-Holm 方程适定性、稳定性和正则性的研究是非线性水波理论研究中的重要问题，具有重要的应用和理论意义。对这些问题的研究，有助于我们从数学角度对孤立子和浅水波理论加以深刻的理解和描述。

本项目研究的是两类 Camassa-Holm型方程的柯西问题的适定性理论。本项目的两类模型都是经典CH模型的推广形式，其中第一个方程是具有尖峰孤立子解的重要的可积系统，第二个方程是受地球自转产生的Coriolis效应影响的赤道海域水波的逼近模型，是一类完全可积的浅水波模型。可积系统是非线性数学物理中的一个重要分支，已经有上百年的研究历史。.本项目主要研究了以下几个内容： .1.利用Littlewood-Paley分解、对数插值理论、Osgood 引理以及输运方程理论，证明了广义Camassa-Holm方程（3）在临界Besov空间B^{1\2}_{2,1} 的局部适定性，之后利用方程的特殊形式和守恒律证明方程(3)的强解的整体存在性和两个爆破解；.2.利用粘性消失法，结合 Young 测度理论和集中紧性证明方程(3)在 Sobolev 空间 H^2 中的弱解的整体存在性；.3.利用 Lagrange 坐标变换证明方程(3)在临界 Besov 空间 B^{1\p}_{p,1}，1≤p<+∞ 中的局部适定性（存在性、唯一性和连续依赖性），这里我们不用仿积分解技巧, 这项工作回答了Danchin提出的一个问题，并给出了Camassa-Holm 型方程关于柯西问题局部适定性的完整刻画；.4.使用紧性原理和Lagrange坐标变换, 证明了具有Coriolis效应的 Camassa-Holm 方程 (3) 在超临界和临界Besov空间中对初值的一致连续依赖性;再利用初值和其磨光初值误差分析的方法得到了小时间下解的非一致连续依赖性。这项工作改善并推广了之前我们得到的局部适定结果。.5.利用特征线法和压缩不动点理论,再结合时间小性条件、迭代法则和仿积分解技巧证明了在空间 B^{1}_{∞,1}中范数膨胀，进而得到局部不适定性。 这项工作完善了R-CH方程在临界Besov空间中的不适定性结果。.这两类广义 Camassa-Holm 方程适定性和非适定性的研究是非线性水波理论研究中的重要问题，具有重要的应用和理论意义，特别是具有Coriolis效应的Camassa-Holm类模型在大气和海洋中具有广泛的应用。对这些问题的研究，有助于我们从数学角度对浅水波理论、赤道海域附近的流体动力学行为加以深刻的理解和描述。