带奇点的extremal度量和toric流形上的extremal度量

Extremal度量是近些年几何研究的热点问题之一。它是 度量和常数量曲率度量的推广。但是由于其方程的复杂性，研究一般紧的 流形上的extremal度量还比较困难。因此，目前的研究还主要集中在紧Riemann面上带奇点的extremal度量和toric流形上的extremal度量上。. 本项目主要研究紧Riemann面上带奇点的extremal度量－主要是HCMU度量的构造和存在性以及一类toric复曲面的分类和toric流形上extremal度量的存在性问题。

在紧Riemann面上带奇点的extremal度量的研究方面取得重要进展。研究了在任意紧Riemann面上带锥奇点的HCMU度量（一类带奇点的extremal度量）的构造，给出了这样的HCMU度量存在的充要条件。用研究HCMU度量的方法重新给出了Calabi的一个定理，即在紧Riemann面上光滑的extremal度量一定是常高斯曲率度量的一个新的证明。又研究了在任意紧Riemann面上既有锥奇点又有尖奇点的HCMU度量的构造和存在性问题。关于toric流形上的extremal度量问题，目前正在读Gauduchon和LeBrun的相关文献，为进一步的研究做准备。